0099

100

n. Funkcje jednej zmiennej

2)    Ustalimy, że dla a>l jest

lim 1oł,jc= + oo , lim loga*= — co .

X-+ + oo    *-»+0

Przy dowolnie danym E>0, nierówność x>a^E pociąga za sobą log,x>£ i analogicznie, jeśli tylko 0<x«j^-1, to log,x<—E. W ten sposób udowodniliśmy obie równości.

3)    Mamy dalej

lim arctgx=i;jt, lim arctgx= — $ji .

X* + 00    X-* — oo

Zatrzymajmy się dla przykładu nad pierwszą równością. Przy dowolnym e>0 wystarcza wziąć *>tg (ł«—e), żeby otrzymać arc tg x>łn—e, czyli

0<j-7i—arctgx<«.

4) Trudniej niż w 1) otrzymać, że

lim —= + oo    (gdy a> 1).

+ oo X

Przypomnijmy, że mieliśmy już do czynienia ze specjalnym przypadkiem tego

a”

hm —= + oo

n -♦ co n

[32, (9)]; oczywiście, jest równocześnie

lim-- + oo .

n-*ao 71 + 1

A więc, przy danej liczbie E> 0, znajdziemy taką liczbę naturalną N, że dla h > N spełniona jest nierówność

R fi

n + l

Niech teraz będzie jr>JV+l; przyjmując n = [jc], mamy

n>N oraz «<jc<«+1 ,

->E.

czyli co już dowodzi naszego twierdzenia.

Stąd, jak w ustępie 32, 9), łatwo otrzymać, że

lim —r-= + oo    (a>l,k>0).

x-* + oo X

5) Analogicznie w oparciu o poprzedni wynik [32,11)]

log„n hm -=0 t-* + oo U	(o>l),
v ^l0g“* n lim -=0 :-* + <» X	(Ol),

można ustalić, że

gdzie x przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste dodatnie.