0097

0097



98


II. Funkcje jednej zmiennej

Niech zbiór SC={*} ma punkt skupienia a (liczbę skończoną lub ±oo). Wówczas można w SC (na nieskończenie wiele sposobów) wybrać taki ciąg


(6)

wartości x (różnych od a), który dąży do a.

Rzeczywiście, jeżeli a jest liczbą skończoną, to ustalając zmienną dodatnią 8n dążącą do 0, w każdym otoczeniu (a—8„, a+8n) (i»=l, 2, 3,...) punktu a znajdziemy punkt x=xn z SC, różny od a\ ponieważ \xn-a\<8n, więc xn-*a. Przy a= + oo (-oo) ustalamy zmienną dodatnią A„-> + oo i dla każdego otoczenia (A„, +oo) ((—oo, AJ) znajdujemy w nim punkt je,; oczywiście x„-» + oo ( — oo).

Ciągowi (6) wartości argumentu odpowiada ciąg wartości funkcji

(7)


f(xi),f(x2),f(x3), ... ,/(x„), ...

Łatwo stwierdzić, że jeżeli spełniona jest równość (2), to ciąg (7) ma zawsze granicę A. Dla przykładu zatrzymajmy się nad a i A skończonymi.

Dla danej dowolnie liczby e>0 dobierzmy z początku liczbę <5>0, która jej odpowiada na mocy definicji granicy (2). Mając 5 dobieramy na podstawie zbieżności ciągu (6) do wskaźnik N [23] taki, że dla n>N spełniona jest nierówność \xn—a\<8, a więc (por.(l)) i \f[xj—A\<e. W ten sposób udowodniono zbieżność ciągu (7) do A.

Okazuje się, że słuszne jest również twierdzenie odwrotne:

Załóżmy teraz, że dla dowolnego ciągu (6) (z SC) o granicy a odpowiedni ciąg (7) wartości f(xj funkcji nut zawsze granicę A. Wówczas liczba A jest granicą funkcji f(x) — zgodnie z definicją z ustępu 52.

Również tutaj ograniczymy się do przypadku liczb skończonych a i A. Rozumując przez sprowadzenie do niedorzeczności, przypuśćmy, że A nie jest granicą funkcji we wspomnianym sensie. Wówczas dla pewnej liczby s>0 nie istniałoby już odpowiednie 8, tj. dla dowolnie małego 8 znajdziemy zawsze wartość x=x' (różną od a), dla której

— a|<ń,    ale \f(x’)—A\^e.

Weźmy ciąg liczb dodatnich 8„ dążący do zera. Na podstawie tego co powiedzieliśmy dla każdego 8=8„ istnieje takie x'=x'n, że

K~a|<^, ale \f(x'J-A\>e.

Z tych wyrazów można więc utworzyć ciąg

dla którego


\x'n-a\<8n    (« = 1,2,3,...);

a ponieważ <$„->0, to x'n-*a.

Z założeń twierdzenia wynika, że odpowiedni ciąg wartości funkcji

f(x'1)J(x’2)J(x'3)...../(*;), ...


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
98 II. Funkcje jednej zmiennej Niech zbiór 3C={*} ma punkt skupienia a (liczbę skończoną lub ±oo). W
134 II. Funkcje jednej zmiennej Niech więc dla pewnego x0 funkcja ta będzie różna od zera. Podstawia
96 II. Funkcje jednej zmiennej§ 2. Granica funkcji 52. Definicja granicy funkcji. Rozważmy zbiór lic
96 II. Funkcje jednej zmiennej§ 2. Granica funkcji 52. Definicja granicy funkcji. Rozważmy zbiór lic
96 II. Funkcje jednej zmiennej§ 2. Granica funkcji 52. Definicja granicy funkcji. Rozważmy zbiór lic
120 II. Funkcje jednej zmiennej Przy jednokrotnym przykładaniu listewki błąd bezwzględny równa się
128 II. Funkcje jednej zmiennej punkt jc=0 jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju — z obu stron;
88 II. Funkcje jednej zmiennej gdzie a — jak poprzednio jest liczbą dodatnią (różną od jedności); x
112 II. Funkcje jednej zmiennej To kończy dowód naszego twierdzenia, należy bowiem tylko przy a skoń

więcej podobnych podstron