0095

96

II. Funkcje jednej zmiennej

§ 2. Granica funkcji

52. Definicja granicy funkcji. Rozważmy zbiór liczbowy SC = {x}. Punkt a nazywamy punktem skupienia tego zbioru, jeżeli dowolnie blisko a istnieją liczby x z SC, różne od a.

Aby wyrazić tę definicję ściślej, wprowadzamy pojęcie otoczenia punktu a: tak nazywamy dowolny przedział otwarty {a—3, a + S) o środku w punkcie a. Można teraz powiedzieć, że punkt a jest punktem skupienia zbioru SC, jeżeli w dowolnym otoczeniu punktu a istnieją różne od punktu a wartości x z SC.

Sam punkt skupienia może przy tym należeć do zbioru SC lub nie.

Niech w obszarze SC, dla którego a jest punktem skupienia, dana będzie funkcja /(x). Interesujemy się zachowaniem się funkcji /(x), gdy x zbliża się do a. Mówimy, że funkcja /Ot) ma granicę A, gdy x dąży do a (lub w punkcie a), gdy dla każdej liczby e>0 istnieje taka liczba 8> 0, że

(1)    |/(x)-A|<£, jeżeli tylko |x-a|<<5 (gdzie x wzięto ze zbioru SC, przy warunku x¥=a)(ⁱ). Oznaczamy ten fakt następująco:

(2)

lim/(x) = A.

Jeżeli obszar SC jest taki, że w dowolnym otoczeniu a po prawej stronie a istnieją różne od a wartości x z SC (w tym przypadku punkt a nazywamy prawostronnym punktem skupienia dla SC), to można podać podobną do poprzedniej definicję granicy funkcji, przy ograniczeniu się tylko do wartości x-»a. W tym przypadku, granicę funkcji, jeżeli ona istnieje, nazywamy prawostronną granicą funkcji, gdy x dąży do a (lub w punkcie a) i wprowadzamy oznaczenie

lim /(x) lub /(a+0)(²).

x-*a + 0

Podobnie wprowadzamy pojęcie lewostronnego punktu skupienia i lewostronnej granicy funkcji:

lim f(x) lub f(a—0)(²).

X-*o-0

Jeżeli punkt a jest jednocześnie prawostronnym i lewostronnym punktem skupienia dla SC, to łatwo ustalić, że dla istnienia granicy (2) potrzeba i wystarcza, żeby istniała granica lewostronna i prawostronna, i żeby były one sobie równe:

lim /(x)= lim f{x) = A.

x~*a + O

Jeżeli x dąży do skończonej granicy a, to funkcja może mieć również granicę nieskończoną. A mianowicie funkcja f(x) dąży do +00 (-00), gdy x dąży do a, jeżeli dla każdej

(‘) Zauważmy, że z tego że a jest punktem skupienia dla X wynika, że takie wartości x w ogóle istnieją w otoczeniu (o—<5, a+S) punktu a.

(²) Jeżeli samo a=0 to zamiast 0+0 (0—0) piszemy po prostu +0 (—0).