0129

130

II. Funkcje jednej zmiennej

niej twierdzenie z ustępu 57 o granicy funkcji monotonicznej; ponieważ dla x<x₀ jest oczywiście /(x)^/(x₀), to istnieje skończona granica

f(x₀- 0)= lim /(x)^/(x₀).

x~*xo - 0

Jeżeli granica ta pokrywa się z wartością/(x₀), to funkcja jest lewostronnie ciągła; w przeciwnym przypadku jest skok.

Analogicznie przekonujemy się, że w każdym punkcie x₀ przedziału SC (nie będącym prawym końcem tego przedziału) może być albo ciągłość prawostronna, albo skok.

Za pomocą udowodnionego twierdzenia łatwo ustalić kryterium ciągłości funkcji monotonicznej, wygodne w praktyce:

2° Jeżeli wartości monotonicznie rosnącej (malejącej) w przedziale SC funkcji f{x) zawierają się w przedziale i wypełniają ten przedział {tak, że każda wartość y z 4śf przyjmowana jest przez funkcję chociaż raz), to funkcja ta jest ciągła w SC (¹).

Spróbujmy założyć, że w pewnym punkcie x₀ z SC funkcja f(x) ma nieciągłość np. lewostronną; jak widzieliśmy nieciągłość ta może być tylko skokiem. W tym przypadku istnieje granica /(x_o-0), ale jest mniejsza niż wartość f(x₀). Ponieważ dla x<x₀ jest /(x)</(x_o-0), a dla x>x₀ mamy oczywiście f(x)^f(x₀), to funkcja nie może przyjmować wartości y leżących pomiędzy liczbami f(x₀— 0) i f(x₀), z przedziału <%. To zaś przeczy warunkom twierdzenia, co oznacza, że w istocie funkcja /(x) nie ma nieciągłości.

W następnym ustępie czytelnik znajdzie kilka przykładów zastosowania tego pożytecznego twierdzenia.

72. Ciągłość funkcji elementarnych. Dla wielu funkcji elementarnych ciągłość ustalono w przykładach ustępu 68. Posługując się twierdzeniem 2° z poprzedniego ustępu, łatwo przede wszystkim ustalić na nowo ciągłość funkcji a^x czy sin x.

Funkcja y=a^x (a > 1) monotonicznie rośnie przy zmianie x w przedziale SC=(—oo, + oo). Jej wartości są dodatnie i wypełniają cały przedział 9 — (0, + oo), co jest widoczne z istnienia logarytmu x = log„ y dla dowolnego y>0 [20]. W takim razie, funkcja wykładnicza jest ciągła dla dowolnego x.

Analogicznie, ciągłość funkcji y = sin x, powiedzmy przy zmianie x w przedziale SC— = (—-Jtc, |7t), wynika z jej monotoniczności w tym przedziale, oraz z jeszcze jednego faktu (ustalonego geometrycznie), że funkcja ta przyjmuje każdą wartość pomiędzy — 1 + 1. To samo odnosi się i do dowolnego przedziału postaci

(kn — łn, kn + irc)    (k = 0, +1, ±2, ...).

Jednakże bardziej nas interesują nowe rezultaty, które równie łatwo można otrzymać stosując wspomniane twierdzenie. Kontynuujemy wyliczanie podstawowych funkcji elementarnych, rozpoczęte w ustępie 68.

(') Warunek, aby wartości funkcji f(x) wypełniały cały przedział W, wypowiedziano tutaj jako warunek dostateczny ciągłości funkcji monotonicznej; w dalszym ciągu [82] przekonamy się, że jest to również warunek konieczny.