0107

108

II. Funkcje jednej zmiennej

o granicy funkcji stajemy „na gruncie ciągów”, to ponieważ twierdzenia te zostały udowodnione dla ciągów, pozostają słuszne również dla funkcji.

Dla przykładu zatrzymajmy się nad twierdzeniami 1°, 2°, 3° z ustępu 30:

Niech w obszarze SC (o punkcie skupienia a) dane będą dwie funkcje f (x) i g(x) mające granice skończone, gdy x-*a

lim f{x)=A, lim g(x)=B .

Wówczas również funkcje

f(x)

(15)    f(x)±g(x), f(x)g(x),    ——

g(x)

mają skończone granice (w przypadku ilorazu, przy założeniu, że 5/ 0), a mianowicie

A

B'

A+B, AB,

W języku ciągów dane związki można sformułować tak: jeżeli {*„} jest dowolnym ciągiem wartości x z SC mającym granicę a, to

f(x_n)-*A,    g(x„)-+B.

Jeżeli do tych dwóch ciągów zastosujemy już udowodnione twierdzenia, to otrzymujemy od razu

f(x) A

lim [ f(x„)±g(x„j]=A+B ,    limf(x„) g(x_n) = AB , lim =— ,

9\x_n) u

a to już wystarcza dla stwierdzenia istnienia granic w języku ciągów 0).

Podobnie, na przypadek ogólny, rozważany teraz przez nas, przenieść można automatycznie uwagi z ustępu 31 o wyrażeniach nieoznaczonych, umownie scharakteryzowanych symbolami:

0    oo

- ,    —, O-oo, oo-oo .

0    oo

Tak, jak w przypadku najprostszym, gdy mamy do czynienia z ciągami, dla znalezienia granicy wyrażenia nieoznaczonego, nie wystarcza znajomość granic funkcji f(x) i g(x), a potrzebne są same prawa zmienności.

Czytelnik łatwo sprawdzi, że w przykładach 4) i 5) poprzedniego ustępu mieliśmy do czynienia z wyrażeniami nieoznaczonymi typu oo/oo lub O-oo, a w przykładzie 7) z wyrażeniem nieoznaczonym postaci 0/0. W następnym ustępie podamy dalsze przykłady, już stosując najprostsze twierdzenia z teorii granic.

Do zagadnienia tego wrócimy jeszcze w § 4 rozdziału IV, gdzie podamy ogólne metody wyznaczania granic wyrażeń nieoznaczonych, stosując już rachunek różniczkowy.

(‘) W przypadku ilorazu można zauważyć (podobnie, jak dla ciągu), że dla x dostatecznie bliskich a, mianownik g{x)*£0, czyli ułamek f{x)jg(x) ma sens co najmniej dla tych x.