Dziawgo; Granice funkcji Ciągłość funkcji jednej zmiennej 6

124 Granica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

Tworząc funkcję g(x)

f(x) dlax + 5 -0,01 dlax = 5’

usuwamy nieciągłość funkcji f(x) w punkcie x = 5.

2) Określmy rodzaj nieciągłości funkcji w punkcie x = -5.

lim -7    —    --

^XH>~⁵ (5 + x)(Vx + 20+5

lim -—

^x_>_5+ (5 +x)l vx + 20+5

1

0⁺

1

= + 00

= - 00

0'

Funkcja f(x) w punkcie x = -5 nie ma granicy (granice jednostronne są różne).

W punkcie x = - 5 występuje asymptota pionowa funkcji ( granice jednostronne funkcji w punkcie x= -5 są niewłaściwe).

Punkt x = - 5 jest punktem nieciągłości łl rodzaju.

Zadanie 16.

Zbadać ciągłość funkcji:

8x² + 3x + 4

f(x)

4e³ + 7^X+5 46,75 e"³

x = - 5

Rozwiązanie:

Funkcja f(x) jest określona dla x = -5. Zbadamy granicę funkcji gdy x->- 5.

lim

X 5⁺

8x² + 3x + 4

189

4e³ + 7^X+5

+00

= 0,

[$]

gdyż lim (8x² +3x + 4) = 189 oraz lim (4e³ + 7^x+5) = 4e³ + 7^{Lu J} = + oo

x ->- 5⁺    x 5⁺

8x² + 3x + 4    189

lim

X > 3

4c’ i 7*¹’

i mikcja ma granice jednostronne właściwe, ale są one różne. W związku z tym, w punkcie x = -5 nie istnieje granica funkcji. Funkcja w punkcie x = - 5 nie jest Imikcją ciągłą (nieciągłość I rodzaju).

i unkcja f(x) jest natomiast funkcją lewostronnie ciągłą, ponieważ:

f(-5) = lim f(x).

x ->-5~

Zadanie 17.

f I uch f(x) =

3^{e +4} a

dla x < -5. dla x > -5

l 'In jakiej wartości „a” funkcja f(x) będzie ciągłą w całym przedziale

i '*>; +oo).

Rozwiązanie:

I unkcja jest określona dla x e(-oo; +oo).

i

2

lim 3^c*'⁵⁺⁴ = 3⁰’²⁵. Aby funkcja była ciągła musi być spełniony warunek lim 3^eXf5+4 = lim f(x) = lim f(x) = f( - 5) = f(a), a więc dla a = 3^0,25

• ► 5    x-»-5⁺    x—>-5

funkcja f(x) będzie ciągła w całym przedziale (-oo; +oo) .

ZADANIA

¹ ■ I Powołując się na każdą z dwóch definicji granicy funkcji wykazać, że:

, x(x² -16) a) hm-= 32,

x->4 X - 4

5x + 4    5

c) lim

b) lim

2x + 5    11

^x-*³3x + 4    13

x >+<*>4x-2    4

l'-,7 Wyznaczyć granicę liinkcji v arc Ig , gdy:

x

a) x > O li) H »<r c) x >0.