Dziawgo; Granice funkcji Ciągłość funkcji jednej zmiennej 2

116 Granica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

b) Definicja Heinego.

Trzeba wykazać, że jeśli (x_n ) jest dowolnym ciągiem złożonym z liczb różnych od 5 i istnieje

(4) limx_n = 5

n—»co

to z tego wynika, że istnieje

(5) lim

^x„(^x„ ~²⁵)

x„ - 5

50

Dla każdego neN mamy:

^xn (^xn² - 25) _ x_n (x_n - 5)(x_n + 5)

x„ -5

x_n(x„+ 5)

X.

Z założenia (4) - na podstawie twierdzeń o działaniach aryt metycznych na ciągach zbici nych wnioskujemy, że istnieje

lim x_n(x_n + 5) = 5(5 + 5) = 50 .

Zatem (5) zachodzi.

Zadanie 2.

Powołując się na każdą z dwóch definicji granicy udowodnić, że:

lim idżdz = o,2 .

^x->°° 5x + 3

Rozwiązanie:

a) Definicja Cauchy’ego.

Trzeba wykazać, że /y \y

oO in>0 x>m

X + 2

5x + 3

0,2

< 8

Na istnienie i wartość granicy w danym punkcie wpływa zachowanie się funkcji jedynie w sąsiedztwie tego punktu, więc możemy się ograniczyć w naszym przypadku tylko do x > 0.

Dla każdego x > 0 otrzymamy:

x + 2

0,2

5x + 10-5x-3

7

(5x + 3)5 7

5x + 3

Wystarczy więc wziąć m^:

25s

<

7

5(5x + 3)    25x

aby nierówność x > m pociągała za sob;|

x + 2

merownosc

5x 1 3

0,2

< 8 .

'■i I Mfinicja Heinego.

Należy wykazać, że jeśli (x_n) jest dowolnym ciągiem rozbieżnym do +oo

x + 2

( hm x„= +oo), to z tego wynika, że lim —--= 0,2

n >+oo    n—>+ co 5_X 4- 3

1’onieważ lim x„ = + oo, więc prawie wszystkie wyrazy ciągu (x_n) są do-

n—>+ co

dntnie, a więc na podstawie twierdzeń o działaniach arytmetycznych na cią-r.ach zbieżnych mamy:

lim

n—>+ oo

^x„ +² 5x„ +3

lim

n-»+ oo

X.

5 + — x„

-0,2

/.adanie 3.

i Mn wodnic, że nie istnieje lim sin — .

x-+° _x

Rozwiązanie:

]    Wykorzystamy def. Heinego granicy

n/y puśćmy, że granica lim sin— istnieje    funkcji w punkcie.

x->0 _x

i niwna się g.

/ dcl'. Heinego granicy funkcji w punkcie, wynika, że dla każdego ciągu I ,,)_{( N} spełniającego warunki:

I) x„ ^ 0, dla n=l,2,..., .’) Iimx_n - 0,

n->oo

jest zbieżny do g.

Mr.

⁽ . 1 ^ sin—

n=l,2,...

Miech x_n

^ KJ_n=

1,2,

yin/.y lego ciągu są różne od zera oraz ciąg ten jest zbieżny dó zera. Dla tego ■ Mgu x_n otrzymujemy:

sin

•im( J/m)

sin nn 0,dla n 1,2,...

x