0426

427

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

Z tego co powiedzieliśmy wyżej wynika, że jeśli do tego równania podstawimy zamiast y_x,y₂,    y„+i odpowiednio funkcje/i,/₂,    to stanie się ono w obszarze

S>₀ tożsamością względem zmiennych x_lr x₂, . ■., x„.

Aby dowieść zależności funkcji y_/I+1 od funkcji yi,y₂, ...,y_H, wystarczy tylko wykazać że funkcja F_{fl+ x} we wzorze (26) nie zawiera w rzeczywistości argumentów x„₊₁, ..., x_n. W tym celu trzeba sprawdzić, że tożsamościowo względem y_x, ..., y„, x_ll+i, ..., x„ jest

8F„ ₊1

Sx„₊₁

= 0,

i

Sx„₊₂

=0,

8F„₊₁

dx„

=0

(por. ustęp 183). Udowodnimy na przykład pierwszą z tych równości, pozostałe można udowodnić analogicznie.

Zróżniczkujmy względem x„₊₁ równania (24) traktując przy tym x_x, x₂, ..., x„ jako funkcje (25) zmiennych y_x, y„, x_)t+1, x_n. Otrzymamy równania

d/i .    3<Pi    _f    (    °h _ ⁸<P»    _[    g/i    _Q

ćbc^+j    dx_M dx„₊₁    dx„₊₁

(27)

_{[    |}    g/₂.    _|    ^dfi ... ₀

dx_t    dx_fl+1    dx„ dx„₊₁    dx„₊₁

<3x, dx_M+t dx„ 5x„₊₁    5x_m+1

liniowe względem pochodnych

5x^+1 5x_)I+1 dx«i+i

Konsekwencją tych fi równań liniowych jest (u+ l)-sze równanie liniowe

27*)    ³/»+i. g»i ₍    ,3/;+1.    _[ d/,+i ₀

5x_t ćx„₊₁    dx„ 3x_m+1 dx„₊₁

Mianowicie, wyznacznik stopnia ft+1 utworzony ze współczynników przy pochodnych funkcji ę_x, (p₂,..., <p„ i z wyrazów wolnych we wszystkich ft+1 równaniach liniowych (27) i (27*), czyli wyznacznik

3/,	«/i	8A
5xj	dx„
%	df2	Sf2
dxj	dxtl	8x„+1
	df,	K
dxx	dx„	^8x,+i
dfn i	dfp+i	8fu+i
3xt	8xll	dxu+x