0414

415

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

sprowadzone do zagadnienia zwykłego (absolutnego) ekstremum funkcji złożonej n zmiennych

(5)    /(*i,x₂,    <Pi(x_ltx₂, ...,xj, .... ę_m(,x_l,x₁, ...,x„))

w punkcie P₀(x?, x₂.....x°).

Rozważania te wskazują realną drogą do znalezienia punktu, w którym funkcja f(x₂,x₂,, x_B+m) ma ekstremum warunkowe. Jeżeli potrafimy wyznaczyć w praktyce z warunków dodatkowych (1) zmienne x_JI+1, x_n+2, ..., x„_+m, a więc znaleźć funkcje (4) w postaci nieuwikłanej, to zagadnienie sprowadza się do znalezienia zwykłego ekstremum funkcji złożonej (5). Postępowaliśmy już tak właściwie w wielu rozwiązywanych przykładach [200, 201], np. wtedy, gdy szukaliśmy najmniejszej wartości sumy x+y+z+t przy warunku dodatkowym xyzł=c*, itp.

Pokażemy teraz, jak można znaleźć punkt M₀(x°, x₂,..., x°_+m) w inny sposób, nie zakładając, że dla funkcji uwikłanych (4) znaleziono wzory analityczne wyrażające zmienne x_B+1, x„₊2,..., x„_+m przez zmienne x_t,x₂, ■■■,x_n. Z istnienia tych funkcji uwikłanych będziemy jednak teraz też korzystali.

Otóż przypuśćmy, że funkcja /(x_x,x₂, ...,x_n+m) ma w punkcie M₀ ekstremum warunkowe i tym samym funkcja złożona (5) ma w punkcie P₀ ekstremum zwykłe. Wówczas zgodnie z uwagą I z ustępu 196 różniczka funkcji (5) musi być równa zeru w tym punkcie i to tożsamościowo względem różniczek zmiennych niezależnych dx₁, dx₂,..., dx_n. Korzystając z niezmienniczości postaci pierwszej różniczki [185] warunek ten można napisać w postaci

(6)

n + m Qf

j=idxj

Z. rr^d*j=⁰;

tutaj dx_n+1, dx_n+2, •••»dx_n+m są różniczkami funkcji (4) w punkcie P₀, pochodne cząstkowe zaś są obliczone w punkcie M₀, bo jak wiemy z twierdzenia IV, jest

(7)

V= X?+i ,

Z równości (6) nie można naturalnie wnioskować, że współczynniki przy różniczkach są równe zeru, ponieważ nie wszystkie różniczki są dowolne. Aby mieć do czynienia z dowolnie wybieranymi różniczkami, to znaczy z różniczkami zmiennych niezależnych dx_u dx₂,.... dx„ postaramy się pozbyć różniczek dx_n+1, dx_n+2,..., dx_n+m zmiennych zależnych. Łatwo jest to zrobić, obliczając różniczki zupełne obu stron równań (1) i traktując przy tym x„₊₁,x„₊₂, ...,x„_+m jako funkcje (4)0:

»+m

(8)    X    (* = 1,2.....m).

j=i 8xj

Wobec równości (7) pochodne cząstkowe są tutaj obliczone w punkcie M₀, podobnie

(^l) Ściślej mówiąc, różniczkujemy tu tożsamości, które otrzymuje się z równań (1) podstawiając w nich funkcje uwikłane (4) za zmienne *„+,, x„₊₂,x„_+m. Odtąd będziemy zawsze mówili w ten sposób.