0424

425

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

Widać teraz, że elementy ostatniego wiersza wyznacznika (20) powstają przez dodanie

... 3y_m ikr —

dy i

. Wyznacznik taki, jak wiadomo, jest równy zeru. Otrzymana sprzeczność

odpowiednich elementów pierwszych m— 1 wierszy pomnożonych przez czynniki —

iy.'    ^Sy'

dy₂ "’dy_m-1

dowodzi, że równość (21) nie może zachodzić.

216. Rząd macierzy Jacobiego. Przechodząc do ogólnego przypadku wprowadzimy następującą definicję. Będziemy nazywali rzędem macierzy Jacobiego (19) w obszarze 3 największy ze stopni tych wyznaczników utworzonych z elementów macierzy, które nie są tożsamościowo równe zeru w obszarze 3. Może się oczywiście zdarzyć, że wszystkie elementy macierzy (19) są tożsamościowo równe zeru; mówimy wtedy, że rząd macierzy jest równy zeru. Ten przypadek nie jest jednak interesujący, bo wówczas wszystkie funkcje y_x, y₂, ■ ■ ■, y_m są po prostu stałe [183]. Jeżeli rząd g macierzy (19) jest większy od jedności, to istnieje co najmniej jeden wyznacznik stopnia g utworzony z elementów tej macierzy (musi być oczywiście m^g i n^g) nie równy tożsamościowo zeru w 3\ wszystkie zaś wyznaczniki stopnia większego od g — jeżeli istnieją — są tożsamościowo równe zeru. Mówimy, że rząd g jest osiągnięty w pewnym punkcie obszaru, jeżeli ten wyznacznik stopnia g jest właśnie w tym punkcie różny od zera.

Twierdzenie II. Załóżmy, że rząd g macierzy Jacobiego w obszarze 3 jest większy od jedności i że jest on osiągnięty w punkcie

M₀(x°,x°₂,...,x°_n)

tego obszaru. Wówczas w pewnym otoczeniu 3₀ tego punktu spośród m funkcji układu (17) g funkcji jest niezależnych, a pozostałe są od nich zależne. Niezależne są te funkcje, których pochodne tworzą wyznacznik stopnia g różny od zera w punkcie M₀.

Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że różny od zera w punkcie M₀ jest wyznacznik

		dy t	dyx	dy i		Sft	dfi	dfx
		ćbcj	dx2	8x)t		dxx	8x2	8x)l
D(yi,y2, ■	■, y„)	dy2		dy2		df2	df2	df2
D(xi, x2, .	■ , *„)	dxi	8x2	8xll		8Xy	dx2	8xą
		cy*	Syu	dy„		df,	df,i	df„
		8xx	8x2	dxll		8xx	dx2	dxu

Wobec ciągłości pochodnych cząstkowych wyznacznik ten musi być różny od zera także w pewnym otoczeniu punktu M₀- W otoczeniu tym funkcje yi, y₂, >V są zatem zgodnie z twierdzeniem I niezależne.