0422

423

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

215. Pojęcie niezależności funkcji. Rozpatrzmy układ funkcji

kl =/l(¹H ¹2 . — ,¹»),

(_J7)    k2=/2(Xl>¹2> •••>¹„),

km=/m(¹l>X2> ••■,¹,,)>

określonych i ciągłych wraz z swoimi pochodnymi cząstkowymi w pewnym n-wymiaro-wym obszarze otwartym 3.

Zajmiemy się przypadkiem, gdy wartości jednej z tych funkcji, np. y_}, są jednoznacznie określone przez układ wartości, które przybierają pozostałe funkcje

(kl.kz. -.ki-l.k;+l»

Powiedzmy to ściślej. Niech S₀ oznacza zbiór takich układów wartości, czyli punktów w przestrzeni (w — lj-wymiarowej, odpowiadających wszystkim punktom (x_lt x₂, ..., x„) obszaru 3. Otóż założymy teraz, że w zbiorze S_Q określona jest zależność funkcyjna

(18)    yj=<p(yi, ...,yj-i,yj+i, ...,y_m),

przy czym równanie to staje się tożsamością względem x_t,x₂, ..., x„ w obszarze 3, gdy zamiast wszystkich y, podstawi się funkcje (17) C¹). Gdy założenie to jest spełnione, mówimy, że w obszarze 3 fmkcja yj jest zależna od pozostałych funkcji (17). Aby móc stosować metody rachunku różniczkowego, dołączymy do tej definicji jeszcze warunek, żeby funkcja ę była określona i ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi w pewnym otwartym obszarze & przestrzeni (w — l)-wymiarowej, zawierającym zbiór <?₀.

Jeżeli w szczególności jedna z funkcji (17) — funkcja y_} — jest stała, to oczywiście jest ona zależna od pozostałych. Można w tym wypadku przyjąć po prostu ę» = const.

Ogólnie, funkcje y_t,y₂, • ■ ■, y_m nazywamy zależnymi w obszarze 3, gdy jedna z nich, obojętnie która, zależy od pozostałych.

Przykład 1. Dla układu

y_l=x_l+x₂ + ...+x„ ,

2,2, ,2

V₂=X, +¹₂+ ...+¹» ,

y₂=x_lx₂-‘_rx_lx₃-\-x₂ x₃ +i¹,,,

jak łatwo sprawdzić, w całej n-wymiarowej przestrzeni spełniona jest tożsamość

yi=yt-2yi.

Przykład 2. Analogicznie, dla funkcji yi=x,x₂-x₃, y₂-Xi x₃+x₂ ,

ys=(¹i +1 )(x\ +2:3) -(¹? — 1) ¹2 ¹3 —¹i(¹2 -¹3)²

1

Istotne jest to, że funkcja ę wśród swoich argumentów nie zawiera zmiennych x,, x₂,..., x„.