0418

419

§ 3. Niektóre zastosowania teorii funkcji uwikłanych

Rugując dt z równości df=dx+dy+dz+dt=0 otrzymamy równanie które wobec dowolności różniczek dx, dy, dz rozpada się na trzy

=0.

t    t

1--=o,    1--=0,    1

*    y

Zatem x=y = z— t = c.

Stosując w tym zadaniu metodę Lagrange'a wprowadzamy funkcję pomocniczą

F=x + y + z + t + Xxyzt(¹)

i piszemy równania Stąd

F, = l+Xyzt=0, ... ,    F!=\+Xxyz=0.

yzt=xzt=xyt—xyz, a więc x=y=z=t=c .

Aby skorzystać z wyników poprzedniego ustępu, wyznaczamy /.= — ł/c¹ i rozpatrujemy funkcję

xyzt

F=x+y+z+t--z- .

c¹

Jej druga różniczka w punkcie x=y—z=t=c ma postać

2

d²F— — — (dxdy + dxdz + dxdt + dydz + dydt + dzdt) . c

Różniczkując równanie będące warunkiem dodatkowym (również w tym samym punkcie), otrzymujemy

dx + dy + dz + dt =0 .

Wyznaczamy stąd dt i wstawiając do wyrażenia dla d²F znajdujemy ostatecznie

2    1

--[dxdy + dxdz + dydz — (dx + dy + dz)¹ ]=— [(dx + dy + dz)^z + dx² + dy¹ + dz²].

c    c

Ponieważ forma ta jest oczywiście określona dodatnio, w znalezionym punkcie jest minimum warunkowe.

Nie można jednak wnioskować stąd, że minimum to jest najmniejszą wartością funkcji /= jc-fy+z+t przy podanym warunku wiążącym jej argumenty [por. 200, 4)].

2) Będziemy znowu [por. 200, 2)] szukali najmniejszej i największej wartości funkcji

(ax² + by²+cz²)²

przy warunku dodatkowym

2 . 2 , 2 , x +y +z =1,

to znaczy na sferze określonej tym równaniem(²).

O Przypominając sobie rolę tej funkcji zauważymy z łatwością, że stały składnik w funkcji <t> można pominąć przy tworzeniu funkcji F.

(²) Ponieważ powierzchnia ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc z twierdzenia Weier-strassa (patrz uwagę na końcu ustępu 173) wynika, że muszą na niej istnieć punkty, w których funkcja przybiera najmniejszą i największą wartość.

27

1

u = a x +b y +c

2

2 . ,2 2 , 2