Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 2

130 Pochodna funkcji jednej zmiennej

130 Pochodna funkcji jednej zmiennej

Rozwiązanie:

f (0) = limf.^f(° + *0-Wyi ₌ ,_ira

Ax

Ax—>0 \

lim

Ax—>0

= lim sin(z).

Ax->0V

sin(^r) • Ax f . fl —— -= lim sin —

A_X    Ax^o'_v v AxJJ

lim sinf —] = lim sin(z) oraz

Ax-»0⁺    v AX/    z >+oo

lim sinf — )

Ax—>(T    V A XJ

sini — I • Ax-0

Ax

Wprowadzając podstawienie z = i rozbijając granicą w zerze na granit y lewostronną i prawostronną w tym punkcie otrzymujemy:

Łatwo pokazać, że obie granice lim sin(z), lim sin(z) nie istnieją.

Zatem w punkcie x₀=0 nie istnieje pochodna funkcji f (nie istnieją też pochodne lewo i prawostronne).

Zadanie 3.'

b) f (x) = cos(arcsin x),

Oblicz pochodne funkcji: a)f(x) = 2⁵\

c)f(x) = (-^-j , d)f(x) = (x² + l)\

Traktujemy funkcją f jako złożenie funkcji y=5^x (funkcja wewnątrzna) i funkcji z=2^y (funkcja zewnątrzna) Zatem na podstawie twierdzenia o po chodnej funkcji złożonej otrzymujemy:

Rozwiązanie:

a)    f’(x) = (2⁵¹) =

= 2⁵" • ln(2) ■ (s* j =2⁵" -ln(2)-5^x -ln(5)

b)    f' (x) = - sin(arcsin x) • (aresin x)' = -x

c) f(x)

x“ +1

„""'(At)

Ponieważ zmienna x wystąpuje żarów no w podstawie jak i w wykładniku, przekształcimy wzór funkcji f tak by pozbyć sią zmiennej x w podstawie Skorzystamy ze wzoru: u !••(«")

/nlcra

l'(x)

x    (

x W² + l

( f	,^x ))
x ln
	.x + lJJ

Zastosujemy teraz wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.

x'-ln

ln

f

ln

V

V

x

x²+l

x² +1

—1

x² +\J

,y (x² +l)^x In y = ln (x²+l)^J In y = x • ln(x² + lj

+

+ x • ln'

x²+l

x² + UJ

Teraz wzór na pochodną ilorazu.

x² +1

x² +1

+-

X

x² + l-2x-x

v (^x2 + O J

-x² + A ⁺ x²+lj

Obliczymy to zadanie innym sposobem nie korzystając z metody użytej w podpunkcie c). Zlogarytmujmy to równanie stronami.

t    '

(lny) = x-ln(x²+l)

Obliczymy teraz pochodne wzglądem x lewej i prawej strony tej równości pamiętając, że y oznacza funkcją y(x).

Podstawmy za y = (x² + lj .

Ponieważ przykłady c) i d) rozwiązaliśmy dwoma różnymi sposobami, Czytelnik zechce rozwiązać przykład c) drugim sposobem i vice versa. Q)o-równać wyniki)

/.udanie 4.

najdź prosti) styc/iii| do wyl n mi Ii i i i Im- j i I K ¹    > R o równaniu l(x) = 7

l'i i-c liod/in pi/,r/ piml 1

a) l'( I 0),

li) !'(<> 0)

I ) l'l I (I)