Dziawgo; Granice funkcji Ciągłość funkcji jednej zmiennej 3

118 Granica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

W związku z tym lim sin — = O = g

n-»co v

n

Weźmy inny ciąg x_n, taki, że wyrazy tego ciągu będą różne od zera i ciąg len również będzie .zbieżny do zera.

Niech x_n = ,    ,n = 1,2,...

+ 2 7tn

/— + 27111

Tt

. 1

Dla tego ciągu sin — = sm

= sin[ — + 2ran | = 1 = g.

Wynika stąd, że dla dwóch różnych ciągów (x„) otrzymaliśmy dwie różne gni

nice ciągu

r	o
sin	2
V

Doszliśmy więc do sprzeczności. W związku z tym granica funkcji lim sin

x-»0

nie istnieje.

Zadanie 4.

Obliczyć granicę funkcji f(x) =

x² -4 x² + x - 6

w punkcie x=2.

Rozwiązanie:

limf(x)

x->2

0

o

= lim

x² -4

x->2 X + X - 6

r (^x — 2) (x + 2) ^ 4 x¹S(x-2)(x + 3)    5

Dla x-2 zarówno licznik jak i mianownik funkcji f(x) równają się 0. W punkcie x funkcja nie jest olcreślona, dla x ^ 2 można zatem skrócić przez (x-2).

Zadanie 5.

2a/x-4x

Obliczyć lim

XH>0

Rozwiązanie:

lim

X >0

0

o

2 1 i m( I ^} J '■ )

x ><)

Zadanie 7.

\N \ /naczyć granicę lim xarcctgx .

x->+ 00

Rozwiązanie:

I'odstawiając arcctgx = t otrzymujemy: x = ctgt, przy czym t->0⁺, gdy

tcost

x > -t-oo, a więc lim x arcctgx = lim t • ctgt = lim —:-.

x->+co    t—>o⁺    t-»o⁺ sin t

i’"iiieważ istnieje granica lim—— = l,limcost = 1,możemy zapisać

t->° sin t ^w0

tcost

lim—;-

t->o⁺ sint

lim cost • lim—— = 1.

t->o⁺    t->o⁺ sin t

Zadanie 8.

' Hiliezyć granicę lim(tgx)^5lg2x .

71

X—>—

4

Rozwiązanie:

nslosiijemy podstawienie I; * \    Ml, przyczyni 1 >0, gdy x —>—.

2(1 I l)

r /udanie 6.

• 'Uiezyć lim (3x-V9x² + 5x).

X-» + OO

Rozwiązanie:

i (3x-V9x² +5x)[ OO — 00 j =

(3x - V 9x² + 5x)(3x + V9x² +5x)

Ćwiczenia 15

119

lun

Inn - ,-

• ^M 3x + v9x² + 5x

3x + V9x² +5x 5x    ..    - 5

= lim -

X—>4- oo

3 +J9 +

5

6

2tflx .’(I i i)

Ig 2x    .    ,

I tg x I ( I l I) l(