Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 5

136 Pochodna funkcji jednej zmiennej

Wracając do wyjściowej granicy otrzymujemy:

136 Pochodna funkcji jednej zmiennej

i

=e.

ZADANIA

16.1 Oblicz, wykorzystując definicję, pochodną funkcji f w punkcie x₀ (c/\ istnieją pochodne jednostronne)

'O

a)f(^x)

sin

• x“ dlax ^ 0

w

0 dla x = 0

x„ =0,

b) f(x) =

c) f(x) =

f x² dlax < 3 [6x-9 dlax>3

|x² dlax<3 |_3x dla x > 3

d)f(x) = |x-a|dlax₀ = a,    e)f(x) = Vx dlax₀ =0.

16.2    Znajdź wzór stycznej do wykresu funkcji f przechodzącej przez punkt A

a) f(x)=x²-4x+2 A(2,0), b) f(x)=x²+2    A(0,-2).

Po wykonaniu obliczeń zrób stosowny rysunek.

16.3    Pod jakim kątem przecinają się wykresy funkcji (kąt między wykresami to kąt między stycznymi do wykresów w punkcie przecięcia):

2 1

a) y = x , y = —, b) y = sin x , y = cos x, c) y = ln x, y = log, x

x    c

Wskazówka: Kąt pomiędzy prostymi y—ax+b, y=cx+d oblicza się ze wzoru

tgy =

a-c 1 + ac

16.4    Dla jakiej wartości parametru a wykresy funkcji y = e'" i y = —ax + 1 przecinają się pod kątem prostym.

c) 120°.

16.5    W jakich punktach paraboli y = -V3x² - 3-\/3x + 4 styczna do niej tw<> rzy z osią OX kąt: a) 0°, b) 30°,

u* <» Pod jakim kątem przecinają się styczne do hiperboli y = — w punktach

x

x₀ = —1 i x, = a, gdzie a > 0.

u* / /najdź równanie normalnej do wykresu funkcji f i przechodzącej przez punkt P (normalną do wykresu nazywamy prostą przecinającą wykres funkcji i prostopadłą do stycznej w punkcie przecięcia).

li. H

a) y = -, p(2,2), b) y = x^2, X	P(0,1), c) y = V3-x^2, P(0,0)
Oblicz pochodne a) y = 2x^3 - 4x^2 + 8x - 7,	b) y = 2^X - cos 4x,
c) y = x(cosx + sin x),	d))y = Vasin^2 x + bcos^2 x,
o) y = ^J\ + 2tgx ,	f) y = sin^3(x^3),
g) y = sin^4 x - cos^4 x,	h) y = a/1 + sin2x - Vl-sin2x ,
l-4sinx 0 y = cosx	arctg(2x) j)y = ^e
II ^ ^1 + 1	1) y = x^2Vl + Vx ,

m) y

cos² x sin² x

o) y

arccos x

n) y = -y/l - (arccos x)² ,

(1-cos x) p) y--

I) y =

lnx

+

6x⁽

s) y

Vsin x lnx

1 - In x

i o (Milicz pochodną dwoma sposobami.

n)y=x^x,    b) y (cosx)^smx, c)y = Vx ,

-    /    ,    \ sin x

cosx,    c)y    (x    J

Mi MM )l>licz    pocliodu;| dnu olu< • • < *    i    «,1111    iMslępujiicych lunkcji:

u) f( X    )    xc\    I•) I (    )    «    '    ¹

w) y = 7x³e^x ln x,

y) y =

6^X -1 6^X +1 '

1

y = (x³ + 3x² + 6x + 6) • e^_x, u) y = ctgx + x,