00098476

244 IU FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

do Ox i o ramieniu końcowym zgodnie równoległym do wektora a. Jedna z takich miar <5 — arg z'{i₀), odpowiada kątowi zaznaczonemu na rys. 111,4.

Moduł!/(/«)! przedstawia długość wektora r.

Uwaga. CKnąwojąc interpretację geometryczna pochodnej *'(/»). nie wykluczyliśmy przypadku gdy t„ - « albo A, - fi\ zarówno pochodna jak i wektor styczny naleiy wówczas rozumieć jako jednostronne.

Całka oznaczona fankoji z(t). Tę kwestię potraktujemy bardzo formalnie. Jeiełi funkcje *(0 i >(0 są całkowalne w przedziale <a ,(T), to

<nus)

Na przykład całka funkcji (HI.23) w przedziale <0, tt), wynosi

J (Za+re*)<ft- | (x₀ | rcosr)dr+y| (y₀ ł rsinłjrf/ -

- tr*a+j(ny«. +Ix)

ĆWICZENIA

1.    Co to jest funkcja zespokma zmiennej rzeczywistej Podać przykłady i interpretacja geometryczną.

2.    Podać definicję pochodnej *”(/) oraz interpretację geometryczna jej modułu i argumentu.

X Podać defir

4. Podać interpretację geometryczna całki z modułu pochodnej »'<»). czyli J

pochodną pochodnej rzędu a-l tej funkcji

S. Pochodna rzędu m funkcji zfi)

(dla * > 2). Obficzyć pochodne kilku rzędów funkcji (IU.25).

«. Naryaować linię:    a) z - r+/r, -ao<K+oo; b) x-2(l + e!0,

—* < r< +*; c) i *= —l+2jr, 0<><-f»; d) z-2r*+/ł, CKi<+oo;

■co < / < 0; F) Z - sia’i+jcot‘1. 0 <t<y.

4. FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Niech fi oznacza pewien nie pusty zbiór liczb zespolonych.

Def. Funkcja zespolona J\z) zmiennej zespolonej z określona w dziedzinie fi jest to przyporządkowanie każdej liczbie z efi dokładnie jednej liczby zespolonej w. Piszemy przy tym

w —A*) dla Jtfl

Zbiór wszystkich wartości w, jakie przyjmuje funkcja fiz) w swej dziedzinie fi, nazywamy przedwdziedziną tej funkcji.

• . ; ^

t rumie;a zEaroLOKA zmieknej zbwolonfj    245

Na przykład rówDott

w-z*

okrełla funkcje aapoloną zmiomej zespolonej, przy czym dziedzin* naturalną jest tu caia płaszczyzna otwarta.

Oznaczmy:    |

w=h+>, z = x+jy

przy czym u -= Rew, t> = Imw, x = Rez i y = Imr. Z uwagi na równość (III.29)

u+jc = A*+/r) =- m(x, y)+M*. y) przy czym w(*» y) ” Re/(x+./y), ®(*> y) " Im/fz-h/y).

Stąd

|«a=B(x,y)    _

Funkcja zespolona (111.29) zmiennej zespolonej r jest równoważna parze funkcji rzeczywistych (131.30) dwóch zmiennych rzeczywistych. Istotnie, z równości (111.29) wyprowadzi-    j

liżmy równości (III.30), jeżeli natomiast dane są równości (ID.30), to można utworzyć funkcję (UL29) w następujący sposób:

/{z) - «(x, y)+M*, y)    (oi3i) i

przy czym

x = y (z+ź),    / = — (z-r)

Funkcje «(x, y) nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast e(x, y) — częścią urojoną funkcji/(z).

Z przeprowadzonego rozumowania wynika, że teoria funkcji (01.29) jest to po prostu teoria układów (10.30). Dzięki zręcznemu, zwięzłemu zapisowi — który jest konsekwencją właściwości liczb zespolonych — teoria funkcji zespolonych zmiennej zespolonej jest jednak bardziej przejrzysta niż teoria układów (111.30).

Dzięki tej właśnie przejrzystości, zwięzłości, a także dzięki niewątpliwej elegancji, funkcje (111.29) znalazły liczne zastosowania w teorii elektryczności, teorii sprężystości i innych dyscyplinach technicznych.

PRjkM. ZntieU aęść nsczysrhS* i cjsść urojoną funkcji

w - *»—2j

Mamy tu

etyli

W - (x+jM»-2(*+/r> - x»+ł**/y-3*y*-jy»-2*-2fr

w - **-J*y*-2*+/»**y-y*-2y)

C-**-3xy*-7x - 3xV-y*-2y