72716 str064 (5)

64 1. ELEMENTY TEORII FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Do tego samego wyniku dochodzimy na innej drodze. Rozwijając naszą funkcję szereg Laurenta, mamy    '

na

3. Znaleźć rozwinięcie funkc

^{e,/,-I +} 7⁺2i7⁺3i7⁺- ^{dla 0<|z}l^<co-

Część główna tego rozwinięcia ma, jak widać, nieskończenie wiele wyrazów różnych od zera. Wynika stąd, że punkt z = 0 jest punktem istotnie osobliwym.

. .    sinz

c) funkcja fyz) = ma w punkcie z = 0 punkt pozornie osobliwy,

bo

w szereg Laurenta w pierścieni] 4. Znaleźć rozwinięcie funk

.. sin z lim-= 1,

Z~* 0 Z

\

w szereg Laurenta w pierścień a) 0<|z—1|<1, b) l<|z 5. Znaleźć rozwinięcie funk

Do tego samego wyniku dochodzimy rozwijając naszą funkcję na szereg Laurenta w otoczeniu 0<|z|<oo. Mamy wtedy

sinz z² z⁴ z⁶

~~ ~V ⁺ J\~T\ ⁺ '"

Rozwinięcie powyższe nie zawiera, jak widać, wyrazów o wykładnikach ujemnych, czyli część główna redukuje się do zera. Wynika stąd, że punkt z = 0 jest punktem pozornie

osobliwym. Podstawiając /(O) = 1 otrzymujemy, że funkcja nasza staje się holomorficzna w punkcie z = 0.

Zadania do rozwiązania

1. Znaleźć obszar zbieżności i ewentualnie sumę szeregu Laurenta

00

Z a»z\

gdzie: a) ,

<0 a_n =

0 2-n-l	-1	dla n>0, dla n< 0,	b) = -	[- 2^n	dla	n^t 0,
1 2"^+ł			1	2^n	dla	n< 0,
	dla	hS* 0,		i 7	dla	n>0,
0	dla	n = —2,	d) an =	i	dla	. 3 II O
-1	dla	-2?Łn<0,			dla	n< 0.

2. Znaleźć rozwinięcie funkcji

z^L 1 —z 2 —z

w szereg Laurenta w pierścieniu:

a) 0<|zj< 1, b) 1 <|z|<2, c) 2<|z|<co.

w szereg Laurenta w pierścień 6. Znaleźć rozwinięcie funl

w szereg Laurenta w pierściei a) 1 < |z| < 3, b) 3<|z|< 7. Określić rodzaj punktói następujących funkcji:

z+2

a) /(z) =

c) /(z) =

sinz

(z-l)³(z+l)z’

1

e) /(z) = e^t/(*~²ⁱ⁾,

sinz

*) /(z) = —.

z

[i) /(z) =

1

smz+cosz

8. Jaką osobliwość w pu

a) /(z) =

3 + z²’ d) /(z) = sin z, g) /(z) = e^i,z,

5 — Wybrane działy matematyki...