Dziawgo; Pochodna funkcji jednej zmiennej 3

132 Pochodna funkcji jednej zmiennej

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór:

y-	^f(^xo)	= a(x-x0)
y-	^f(^xo)	II •-b O	x - X,
	1	1 /	\
y-	-=	—n^x_	■^xo)
	^xo	^xo
	1	1	1
y =	2	x + — +	—
	^X0	, ^xo	^xo
	1	2
y =	2	x +—
	^X0	^xo
P(1,0)
	1	2
y =	2	X + —
	^X0	^X0
	1	, 2
0 =	9	1 H--
	^xo	^xo

^X0 ~ 2    ^0(2 >^)

Jest to wzór na prostą przechodzą ij przez punkt P₀ o zadanym wspóic.yn nikli kierunkowym a. Korzystają* z tego, że prosta jest styczną do wyła r su funkcji f w punkcie P₀ otrzymujemy

Prosta styczna przechodzi prze. punkt P.

Wzór prostej stycznej: y — —4x + 4

* l'( 1,0)

Nu* istnieje rozwiązanie w tym przypadku, gdyż styczna musiała by mieć punkt wspólny z wykresem funkcji f w punkcie P₀(-y,-2) co jest w sprzeczności z wybraną przez nas dziedziną.

/.lulanie 5.

•tu pikiej wartości parametru aeR styczna w punkcie x₀=0 do wykresu funkcji

'l-ax 1 + axj

f(x) = arctg

i i równoległa do prostej y=2x+3. Rozwiązanie:

X =

1 +

1

1 - ax

1 + ax

r

1 - ax

1 + ax j

Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀. Obliczymy pochodną funkcji f w punkcie x₀.

X

1 - ax 1 + ax

1 —ax

V V 1 + ax J

(    X

1

1 - ax

1 + ax

-a(l + ax)-(l-ax)a

I - ax ax

I l -

1 - ax

(l + ax)‘

v V 1 + ax J

f

1

-2 a

Podstawiając za x punkt x_o=0 otrzymujemy:

l - ax I + ax

'1 - ax

(l + ax)‘

V V 1 + ax /

'(())    ----(-2a) =

2 2 ¹ 7

a 2, czyli a I

Pochodna funkcji w punkcie x₀ jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu przechodzącej przez punkt Po(X(),f(x₀)). A więc aby nasza styczna była równoległa do prostej y 2x1-3 obie proste muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. (Ostatecznie: