Dziawgo; Granice funkcji Ciągłość funkcji jednej zmiennej 5

122 Granica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozwiązanie:

|    Wykorzystamy dc/lni

Przypuśćmy, że granica lim cos— istnieje i równa się g. cją Heinego grano j

^x_>0 X    jednostronnej funkcji i

oznacza to, że dla każdego ciągu (x_n) złożonego z liczb

dodatnich zbieżnego do zera ciąg

cos—

V x j

jest zbieżny do g.

1    1

Niech x _n =-, (n= 1,2,...) otrzymujemy cos— = cos27tn = l dlii

27111    x_n

(n= 1,2,...). Stąd g = lim cos—^— = lim cos 2 7i n = 1.

ii—>co    x    n—>co

Jeśli teraz przyjmiemy x_n =

1

71    _

— + 2tui

2

, (n= 1,2,...), to

1    f 7t    ]    71

cos — = cos —b 27111 = cos — = 0, (n = 1,2,...), więc x„    v2    )    2

g = lim cos — = lim cos (— + 27t n | = 0 ^1 ( otrzymaliśmy sprzeczność).

n->oo -g n-xo V, 2

Granica lim f(x) nie istnieje.    _D , .    .    ,    .

q+ ^v 7    J    Badając granicą lewostronną w zerze nas. tj

funkcji wykorzystamy definicją Cauchy'cy,<i Dla dowolnej liczby X < 0 mamy:    granicy jednostronnej funkcji.

xcos-

< |x| = - x. Przyjmując 5=8 otrzymujemy warunek:

(-8 <x< 0)

xcos—

X

<8

Zadanie 14.

Znaleźć lewostronną i prawostronną granicę funkcji:

w punkcie x ~2.

x + 2

f(x) =

i

lim

x + 2

i

4^| x-2

3>

lim(x + 2)

x->2⁺

lim(x + 2)

x->2⁺

lim 2 + lim

x—>2*    x—>2⁺

4 i ^x~²

V3

/ lim —!—

_    (    4 ) x->2⁺X-2

lim 2 + —

^x~>2^ł V 32

= 1 = 0

oo

Ho/;wiązanie:.

x + 2

= 2

lim(x + 2)

x—>2

1 1

( 4^ ^x-2    f 4\ ^x_2

lim 2 + lim —

V3/    x->2~    x—>2 V3y

lim(x + 2)

x-»2

/ .\ lim-    2 + 0

„    (4 »r*-2

lim 2 + —

^x->2 v3y

/udanie 15.

Im.lor ciągłość funkcji f(x) =

Vx + 20 - 5

25-x'

Rozwiązanie:

0- | 20;-5)u(-5;5)u(5;oo)

"•i mownik ułamka

¹ oiikrja nie jest funkcją ciągłą dla x =5 oraz x = - 5, ponieważ dla tych punktów Vx + 20 - 5 .

25- x

^I    Mul i ji w tych punktach.

II    » >kreślmy rodzaj nieciągłości dla x = 5.

--— jest równy zero. Nie istnieje więc wartość

K x)

x + 20 - 5j|v x + 20 + 5j ^25 - x² )(VxT20 + 5J - 1

x - 5

(5 - x)(5 + x)(Jx + 20 + 5j

(5 + x)|vx + 20 + 5j - 1

lim--, ...........r — - 0,01

^>s (5 + x)(Vx + 20+5j

hmikl x ^: 5 jest punkiem nieciągłości I rodzaju, ponieważ:

.i) funkcja nic jcsl ciągła w pmikrir x 5,

l») gianicc jcdnoNliomn ' i m punkcie są właściwe i równają się granicy liinkrp w punki n