Dziawgo; Granice ciągów liczbowych 3

112 Granice ciągów liczbowych

gdzie

lim

n—>=o

3n-2

3n-2

3n-2

limf 1 + —) 2n /

3n-2

Dwie z nich, to granice takie /. i* w przykładzie d) (na liczbą c).

Obliczenie tych granic pozo.slit wiamy czytelnikowi. Wyniki podano poniżej.

\ 3n-2

3n-2

V2

= 0, lim| 1--

nd

= e , lim| 1 h--

2n

= e⁴

lim

n—>co

Aby policzyć tą granice, ,vAt( l rzystamy z twierdzenia o //.««/* ciągach.

Musimy znaleźć ciągi ograna ii jące dany ciąg z dołu i góry. Znalezione cicigi muszą mieć lak,) samą granice.

Ponieważ, znalezione ciągi ą"l niają założenia tw. o trzech < i<( gach, możemy na podstawie h en twierdzenia stwierdzić, iż i lnu ma taką samą granice jak < /uHl ograniczające go.

g)

5

6

5

6

5

6

n- sin(nf) lim——^ = 0

1WCO    +{

n-(-l) n-sin(n!)

<

n +1

^ n->oo

n +1

n-1 n² +1

4r^n_>®

Funkcja sinus przyjmuje wat i<¹ u l od -1 do 1, stąd ciąg mo‘t'in\ ograniczyć ciągami.

O

O

o

h)

lim

t n+2

-5-4

n+1

3² • 3” - 5 ■ 4" ■ 4

3 ■ 2""² +2

2 ni 2

= lim

n >00 3-2" • 2 ¹

i n

Korzystając wlasnoń\ po tąy. przeks talcamy < a ni

9<3ⁿ -20-4"

i" -

•2ⁿ + 4ⁿ -4 4

r

= lim

9-3ⁿ

4ⁿ

3-2ⁿ

U-4ⁿ

\

-20

J

Y

- + 4

)

Dzielimy licznik i mianownik przez 4ⁿ (jako przez największą liczbę z mianownika podniesioną do potęgi n). Lub też wyciągamy z licznika i miąnownika 4ⁿ.

Vn² +2n + 7 -y/n² +1 2 + 4 + 6+.. .+2n

n

(5n-2

ⁿ->°°V3n - L j) limVlO" +9“ +8" ,

DANIA

(Jhliczyć:

n) lim(V4n² +17 -2n), «•) lim(Vn² -1 - Vn² -2) ,

n >oo

..    1 + 2 + 3+...+n

•') lim - ...

" ~ V4n⁴ + 3n + 1

1+2 + 2²+...+2" l*) lun-:-,

II >oo    3ⁿ⁺¹

0 liinV3"+2" ,

b) lim(V4n² + n - 2n),

n—>co

d) lim

n—>oo

f) lim

n—>oo

h) lim

ii) lim

II i'*)

I - rf

2\r

K5-n²)

u 11    ^ n+2

3-2

2n+3

5-4ⁿ⁺¹ +3

o) lim

n , n2n

ii) lim

u hm 3 i .>ir’

i) Inn 3 " ¹

n+2    ’

3+7

s)limf—⁺-²]    ,

u >*\ 4 u I /