169 2

336 XVII. Całki funkcji niewymiernych

Wracając do całki 7 otrzymujemy

,- 1    6x —1

/= — \-2\Il+x— 3*²+3 • ^ arcsin—-—+C =

/-5    4 /-    6x—1

= — -_i\l2+x — 3x² +,v3 arcsin—^— + C.

Zadanie 17.41. Obliczyć całki

(1)

= J* %/a² — jc²c/x- i I₂= j*

x²dx

s/7^7²

Rozwiązanie. Zakładamy, że aź0 i |*|<\a\. Przekształcamy funkcję podcałkową całki 7_X mnożąc ją i dzieląc przez \la²— x²:

(2)

_[ ^a -x²    _ r a²dx f x²dx

J \/a²-x² J 'Ja² — x² J \!a²-x²

Pierwszą całkę obliczamy podług wzoru (17.2.4): f a²dx ₂ f dx ₂

J \Ja²—x²    J yja²—x²

Po podstawieniu wyniku do (2) otrzymujemy

arcsin —. lal

(3)

/! = a² arcsin t-t—I₂ . a

Stosujemy do całki 7_t wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy

— 2x

dx,

7_t= j* s!a²—x² dx=x \Ja²—x² — j*.

2 \Ja²—:

czyli

(4)

7i— ^xy/a² —x² +^2

Porównajmy wyniki osiągnięte we wzorach (3) i (4). Łatwo zauważyć, że przez doda®^e tych równości stronami zredukuje się nie obliczona całka 7₂ po prawej stronie obu 0^c" równości i w ten sposób obliczymy całkę 7_t; po wykonaniu dodawania otrzymuje®)'

27₁ = n² arcsin +xsja²-x² ,

skąd po podzieleniu przez 2 otrzymamy ostatecznie następującą wartość I_t;

(17.2.6)    f \!a² — x²dx=— arcsin _Ta²—x²+ C .

J    2    |a| 2

£e związków (3) i (4) przez odjęcie stronami możemy obliczyć całkę I₂; otrzymujemy

f x²dx a² . x x j—z-;

„«₇-v    ,____ =— arcsm---va—x+C.

J 2    |a| 2

Takie dwie całki, jak /_Ł i I₂, nazywamy całkami stowarzyszonymi, ponieważ obliczanie ednej z nich wiąże się ściśle z obliczaniem drugiej.

Zadanie 17.42. Obliczyć całkę J V3—2 x—x² dx.

Rozwiązanie. Zakładamy, że - 3 < .r< 1. Ponieważ współczynnik przy x² jest ujemny, vdęc będziemy się starali przez przekształcenie wyrażenia podpierwiastkowego doprowadzić tę całkę do postaci (1) w zadaniu 17.41:

73-2x-x²=V3-(x²+2x+1) + 1=V4-(a. + 1)² .

Przyjmując x+l-u, skąd dx=du, otrzymujemy

J \h — 2x — x² dx= J \ A —u² du , gdzie -2<u^2.

Do ostatniej całki stosujemy wzór (1 7.2.6):

j \l4 — u² du =2 arcsin i u +Ąu \/4-u²

i wracając do zmiennej x ostatecznie otrzymujemy

/-r    x + l x + l /-₂    _

V3 — 2x~x² dx=2 arcsin--1--V3-2x-x²+C.

2 2 v

Zadanie 17.43. Obliczyć całki stowarzyszone

^r-J

s!x² +k dx    i I

-J

x²dx

7P+T

gdzie k jest dowolną stałą (dodatnią lub ujemną).

Rozwiązanie. Zakładamy, że x²+k>0. Mnożymy i dzielimy funkcję podcałkową ^łki /, przez \fx² + k:

- f ^{x2 + k} _ f ^x*^dx [ Jt J \/x²+k J \Jx² +k J yfx

^    C x² + k    C x²dx f kdx

x²+k ^nigą całkę obliczamy bezpośrednio ze wzoru (17.2.2):

I

: = kln \x+\/x² +k\ .

kdx

\fx² +k

Ro podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy ty    Ii =I₂+k In |* + \/x² +k|