170 2

338 XVII. Całki funkcji niewymiernych

338 XVII. Całki funkcji niewymiernych

’^ani_t

Chcąc znaleźć drugi związek pomiędzy /, przez części i otrzymujemy

J₂ do całki /, stosujemy wzór na całkow

^,_J^V*

² +k dx—x\!x² +k

_ r _^

J 2 sj x² +k

dx,

czyli

(3)

I_l=X'fx²+k — I₂

Dodając stronami równości (2) i (3) obliczamy wartość I_y :

(17.2.8)    J \/x² +k dx—~x\Jx² +k +|k ln |A +Vjr² +k| +C , natomiast przez odjęcie stronami obliczamy całkę stowarzyszoną I₂:

r _x²dx    _ _

(17.2.9)    -7==4^vA:² + k— jfcln \x + \[x²+k\+C ,

J \Jx² +k

przy czym przy k> 0 znak bezwzględnej wartości można zastąpić nawiasem.

Wzory (17.2.1) (17.2.9) na str. 331-338 są podstawowymi wzorami dotyczącymi całek niewymiernych.

Zadanie 17.44. Obliczyć całkę j\Jx² — 2x + 5dx.

Rozwiązanie. Funkcja podpierwiastkowa jest zawsze dodatnia. Całka łatwo sprowadza się do całki J vm² + k du. Sprowadzamy trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej

x² —2x + 5=(x² —2a +1) + 4 = (x-I)²+4 .

Przyjmując x—l=u, skąd dx-du, otrzymujemy

| \Jx²-2x + 5 2x= J Ju² +4 du .

Stosujemy teraz wzór (17.2.8) przyjmując w nim k = 4:

J Ju² +4 du = ju y/u² +4+j\n(u+yJu² +4) +C .

Na koniec wracamy do zmiennej x:

J* \!x² — 2x + 5 dx =    \lx²-2x + 5 +2 ln(x- 1 + Jx²-2x+5) + C .

Zadanie 17.45. Obliczyć całkę

,₌ f (3x² +2)dx

J sjx² + X+ 1

x² +x + l=(x +4)² +4..

Rozwiązanie. Funkcja podpierwiastkowa jest zawsze dodatnia. Przekształcamy J• do postaci

podstawić x + i = u, skąd dx=du oraz x = u-%. Wyrazimy teraz licznik jako funkcję u:

3x² + 2 = 3 (w — i)² +2 = 3u² —3u

yfj ten

sposób nasza całka przyjmuje postać

J

du

Rozbijamy ją na trzy całki:

f u²du r udu .. f du

⁷⁼³ J 7?rf³ J

Pierwsza całka jest postaci (17.2.9); jest więc

-i«(»    ■

\u² +7

I'

Druga całka jest postaci (17.2.5); jest więc

f ^udu / 2—T

J 7m-^

Trzecia całka jest postaci (17.2.2); jest więc

f 1“ ^ = ln(tt + Vu²+|)

J Vu²+4

Uwzględniając wszystkie te równości otrzymujemy

/ = |mVu²+|—3V«²+f+(-7--|)in(u+>/M²+|) •

Zastępując u przez x + { mamy ostatecznie

f    dx = f(2x-3)Vx²+.x + l+^Js^łln(x+j + V*^:!+x + l) + C.

J Vx²+x + l

§ 17.3. METODA WSPÓŁCZYNNIKÓW NIEOZNACZONYCH

^ podanych niżej przykładach będziemy stosowali metodę współczynników nieozna-^Cz°nych. Metodę tę stosujemy przy obliczaniu całek postaci

U)

1

\l ax² +bx+c