048

48

2. Zmienne losowe

2.4. Funkcje charakterystyczne

Przykłady Przykład 2.4.1.

Znaleźć funkcję charakterystyczną (p(t) zmiennej losowej dyskretnej X o rozkładzie Pascala:

Pr(X — m) =-—_r ,

gdzie a > O, m = 0,1,2,..., a następnie przy jej pomocy znaleźć EX i D²X. Rozwiązanie.

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X wyraża się wzorem

ę{t) = Ee"^x = e'^VmPr(X = m) = £ e^am

m=0    m=0    0+^a)

> =__^{1 1}

1 O.

\m+l

ł_y^> - _i

+^ah>v^+a) ~¹⁺

+ a \ — sęL l+a(l — e") ’

Do obliczania EX i D²X trzeba wyznaczyć dwie pierwsze pochodne funkcji charakterystycznej.

Ponieważ

<p'(t)

<P"(t>

(1 +a(l —e“))

i²ae“

2 •

2 (me")

(1 +a(l-e“))²    (1+a(l-e“))³

,k <P^{k)(t)

EX^K

ik

1=0

to EX = a, EX² = a + 2a² oraz D²X = a + 2a² — a² = a{ 1 +a).

Przykład 2.4.2.

Znaleźć funkcję charakterystyczną zmiennej losowej X o gęstości

0	dla x ^ — 1,
x+ 1	dla — 1 < x sC 0,
1 —X	dla 0 < x ^ 1,
0	dla x > 1.