048

48

2. Zmienne losowe

dystrybuantę

F(x) =

1 — e dla x ^ O,

O

dla x < 0.

(2.4.2)

Obliczmy dwa pierwsze momenty zwykłe i wariancję. Mamy

oo

i

nu = X I xc dx,

o

Wartość

oczekiwana

skąd obliczając całkę przez części, Ae ** = — (e ^ , otrzymujemy

oo

w, = A —

x

A^e

Xx

oo J

+ y

o A.

—Xx

dx I =

1

“A⁶

—Xx

OO

1

o A

o

Podobnie, ale dwukrotnie całkując przez części, obliczamy

oo

A²’

m^ = A / *²e c/jt =

o

Wariancja

Parametry

pozycyjne

Dla porównania przypomnijmy (przykład ze strony 32), że Me ~ (ln 2)/A = 0.693147/A oraz Q = (ln(3/4) — ln(l/4))/(2A) = (In3)/A = 0.549306/A.

Brak pamięci

Rozkład wykładniczy jest często używany w teorii niezawodności, gdzie dobrze opisuje czas pracy elementów niestarzejących się. Jeżeli zmienna losowa T jest czasem pracy takiego elementu, to t = 1 /A jest średnim czasem pracy, a parametr A — 1 / t jest nazywany intensywnością uszkodzeń. Niestarzenie się elementu oznacza, że prawdopodobieństwo uszkodzenia się elementu w czasie t od chwili obecnej r₀, nie zależy od dotychczas przepracowanego czasu t₀. Własność ta nazywana jest brakiem pamięci rozkładu wykładniczego. Sformułujemy ją w postaci twierdzenia.

Twierdzenie 2.4.1.

Jeżeli T jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, to

(2.4.3)

Pr(7 > t + t₀\T > /₀) = Pr(r > t).