034

34

2. Zmienne losowe

2.1.5. Zadania

2.1.1.    Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja F(x) — aarctgjc + Z? jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej?

2.1.2.    Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości: —1,0,1 z prawdopodobieństwami odpowiednio 1/4, 1/3, p. Wyznaczyć p i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej.

2.1.3.    Sprawdzić, że funkcja

3 — e^-*² dla x 0,

0    dla jc < 0 jest dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznaczyć Pr(X > 1),

Pr(l <X 2), Pr(X = 3).

2,1.4. Dla zmiennej losowej z zadania 2.1.2 znaleźć medianę i kwartyle.

2.1.5. Dla zmiennej losowej z zadania 2.1.3 znaleźć kwantyle.

a

2.1.6. Dla jakich wartości parametrów a i b, funkcja f(x) — y-^    ^

gęstością pewnej zmiennej losowej? Wyznaczyć jej dystrybuantę.

jest

2.1.7.    Niech dystrybuantą F zmiennej losowej X będzie funkcją ściśle rosnącą i ciągłą, a funkcja h niech będzie różnowartościowa. Znaleźć dystrybuantę G zmiennej losowej h(X).

2.1.8.    Niech funkcja

a

0

dla x G [0, tt/2], dla x £ [0, %j2]

będzie gęstością zmiennej losowej X. Wyznaczyć a, znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz korzystając z zadania 2.1.7 znaleźć dystrybuantę G{x) i gęstość g(jt) zmiennej losowej Y = sinX.

2.1.9. Niech a > 0 oraz niech funkcja

dla x < 0, dla x ^ 0,

będzie dystrybuantą zmiennej X (sprawdzić, że jest to dystrybuantą). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y =X². Obliczyć Pr(Y < 0.1).