4 (2368)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Rozkład zmiennej losowej - funkcja, która w pełni charakteryzuje zmienną losową np. gęstość lub dystrybuanta dla zmiennej losowej ciągłej lub rozkład prawdopodobieństwa czy dystrybuanta dla zmiennej losowej skokowej. Gęstość - dla zmiennej losowej ciągłej, funkcja/fu) we wzorze (1.2) nazywana jest gęstością zmiennej losowej. Aby funkcja była gęstością pewnej zmiennej losowej potrzeba i wystarcza abv spełniała ona warunki (1.3): d-3)    /« > 0 oraz J/(*)dx = l

• CC

Związek gęstości f(x) z prawdopodobieństwem:

b

P(a<X<b) = P(a<X<b)=Ąa<X <b)=P(a<X <b) = J/(jc>*r;

Poniższe zadania dotyczą rozkładów zmiennych lośowych skokowych i ciągłych jednowymiarowych oraz ich dystry buant.

PRZYKŁADY

1/ Doświadczenie polega na trzykrotnym rzucie monetą symetryczną. Opisać rozkład zmiennej losowej przy pomocy tabeli, łamanej oraz dystrybuanty zmiennej losowej, która określa ilość wpadniętych orłów. (Przyjąć, że rzuty monetą są niezależne)

Rozwiązanie:

Oznaczmy jako /?, prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w pojedynczym rzucie. Ponieważ moneta jest symetry czna /?,= % .Zmienna losowa opisana w zadaniu jest skokowa (ozn. X). Punkty skokowe zmiennej losowej X to ilości wyrzuconych orłów przy trzykrotnym rzucie monetą. A zatem x,= {0, I, 2, 3}. Określamy prawdopodobieństwa dla kolejnych punktów skokowych zmiennej losowej X, korzystając z założenia, że rzuty monetą są niezależne:

P(X = 0) = P(RnRnR) = ‘/₂ -J4 -!4 = 0,125;

P(X = 1) = P(OnRnR) + P(RnOnR) + P(RnRnO) = 3-14 • 'A • 'A = 0,375;

P(X = 2) = P(OnOnR) + P(RnOnO) + P(OnRnO) = 3-'A -^l/₂ • ^l/₂ = 0,375; P(X = 3) = P(OnOnO) = ^lA • Vi • 'A = 0,125.

Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić w tabeli następująco:

Tabela 1.

Xi	0	1	•	5
Pi	0.125	0375	0.3’5	0,125

Łamana rozkładu przedstawiona jest na rys.l.

Rys.l

Dystrybuantę możemy przedstawić przy pomocy Tabeli:

Tabela 2.

	xe(-co,0>	X€(0.1>	xe<1.2>	xe(2>	xe(3.co)
m	0	0,125	0.5	0,8 "5	1

oraz przy pomocy rysunku (rys.2) na podstawie tabeli 2:

Rys.2

09

0»

07

06

OS

a*

03

02

01

0

3

2/ Doświadczenie polega na trzykrotnym strzelaniu do tarczy. Tarcza składa się z trzech pierścieni (I, II, III). Prawdopodobieństwo trafienia pierścienia I wynosi - 0,6; pierścienia II - 0,3; pierścienia III - 0,1. Trafienie w pierścień I daje daje +10 punktów, w II daje +6 punktów, w III daje -2 punkty. Niech zmienna losowa oznacza sumę punktów zdobytych po trzech strzałach. Napisać jej rozkład.

Rozwiązanie:

Oznaczmy opisaną w zadaniu zmienną losową jako X. Zmienna losowa jest skokowa. Punkty skokowe zmiennej losowej X to wszystkie możliwe sumy punkt, po trzech strzałach. X, = {-6, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30}.

Prawdopodobieństwa otrzymania poszczególnych sum punktów wynoszą:

P(X = 2) = P(1I, III, III) + P(III, II, III) + P(III, III. II) = 0,3-0,1 -0,1 -ł-0,1 -0,3-0.1 + + 0,1 0,1 0,3 = 0,009;

P(X = 6) = P(I, 111.111) + P(III, I, III) + P(UI, III, I) = 0,018;

-7-