74332 statystyka matematyczna cw2

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Zmienne losowe

ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA

S Rozkładem zmiennej losowej dyskretnej nazywamy zestawienie jej możliwych wartości z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Można go podać w postaci tablicy:

X	Xl	X2		x„
p	_Ei_	P2		Pn

i>i=i

i=l

✓

Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X może być także podany w postaci analitycznej (w postaci wzoru):

P(X = x_i) = i|/(x_i)

S Rozkład ten również można przedstawić graficznie.

S Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X jest określona następująco:

F(x)= £p_k

x_kSx

Treść zadań 1-4

Dyskretna zmienna losowa ma rozkład jak podano w tabeli. Narysować rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę.

Zad. 1

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36

ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

Zmienna losowa, która przyjmuje wartości w przedziale [a,b] w sposób ciągły jest zmienną losową ciągłą.

Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X ciągłej jest funkcją ciągłą.

Gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej jest granica:

P(x < X < x + Ax) „ .

lim —-- = f(x)

*>-»<•    Ax

albo pierwsza pochodnia dystrybuanty:

dF(x)

dx

f(x) =

Znając gęstość prawdopodobieństwa można znaleźć dystrybuantę ze wzoru:

X

F(x)= Jf(x)dx

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmuje wartość należącą do przedziału (a,b) wyznacza się z zależności:

b

P(a < X < b) = jf(x)dx

Zad. 5

Przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej, której rozkład nazywa się jednostajnym:

0

F(x) =

x

2

1

dla x < 0

dla 0 < x < 2 dla x > 2

Zad. 6

Przedstawić dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej o rozkładzie normalnym:

1

F(x) =

dt

Zad. 7

Gęstość stażu pracy osób zatrudnionych na stanowiskach kierowników wydziału podana jest zależnościami:

f(x) =

0

dla x < 0 dla 0 < x < 6 lat

dla x > 6 lat

0

Wyznaczyć dystrybuantę i przedstawić graficznie.

Zad. 8

Czas pracy (w setkach godzin) do chwili przepalenia się żarówki jest zmienną losową X o gęstości prawdopodobieństwa:

0    dla x g [0,2]

0.3(2 + x-x²) dlaxe[0,2]

Sporządź wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz przedstaw jej dystrybuantę.

f(x) =