statystyka 2 7

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Zmienne losowe

ZMIENNA LOSOWA DYSKRETNA

Z Rozkładem imiennej losowej dyskretnej nazywamy zestawienie jej możliwych wartości z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Można go podać w postaci tablicy:

X	Xl	*2		Xn
p	Pi	_Pa_		_Ps_

i>,=i

1=1

✓

Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X może być także podany w postaci analitycznej (w postaci wzoru):

P(X = Xj) = _V(x,)

Z Rozkład ten również można przedstawić graficznie.

z' Dystrybuanta imiennej losowej dyskretnej X jest określona następująco:

F(x)= ŹPk

x_k£x

Treść zadań 1-4

Dyskretna zmienna losowa ma rozkład jak podano w tabeli. Narysować rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę.

Zad. 1

X	1	3	6	8	10
P	0.2	0.1	0.4	0.2	0.1

Zad. 2

X	0	1	2	3	4
P	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

Zad. 3

X	1 1 2 | 3	...
p	0.2-0.8^k''

Zad. 4

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	1/36	1/18	1/12	1/9	5/36	1/6	5/36	1/9	1/12	1/18	1/36

ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA

Zmienna losowa, która przyjmuje wartości w przedziale [a,bl w sposób ciągły jest zmienną losową ciągłą.

Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X ciągłej jest funkcją ciągłą.

Gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej jest granica:

lim P(x < X < * + Ax) _ _f(x)

Ax

albo pierwsza pochodnia dystrybuanty:

f(x) =

dF(x)

dx

Znając gęstość prawdopodobieństwa można znaleźć dystrybuantę ze wzoru:

F(x) = | f(x)dx

I

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa ciągła X przyjmuje wartość należącą do przedziału (a,b) wyznacza się z zależności:

b

P(a < X < b) = | f(x)dx

Zad. 5

Przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej, której rozkład nazywa się jednostajnym:

0 dla x < 0

F(x) =

x

2

1

dla 0 < x < 2 dla x > 2

Zad. 6

Przedstawić dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej o rozkładzie normalnym:

F(x) = —fe ² di v2 ■ tt

Zad. 7

Gęstość stażu pracy osób zatrudnionych na stanowiskach kierowników wydziału podana jest zależnościami:

f(x) =

0    dla x < 0

— \² dla 0< x <6 lat 72

0    dla x > 6 lal

Wyznaczyć dystrybuantę i przedstawić graficznie.

Zad. 8

Czas pracy (w' setkach godzin) do chwili przepalenia się żarówki jest zmienną losową X o gęstości prawdopodobieństwa:

_f f°    [0,2,

(0.3-(2 + x - x²) dla x e [0,2]

Sporządź wykres funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz przedstaw jej dystrybuantę.