23 (5)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Pomocniczo rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:

/ + 1 1 2 t ⁺1-1

/= j— +2j^j=-ln(/|+2ln|/-l|+C = -lne^x + ln(e^ł-l)²+C

142/

t³dt

ff^=_e^x=i dx = —1= [-7^= f(/-2+-₇^-r)dr = — -2l + 41n|l + 2| + C V+2    t ^Jr(t + 2) ^J    /(/ + 2)    2    ¹ ^

= — -2e^x+41n|e^x+2| + C

41

143/

f *-- ₌

^J e — p

i    , dt

e =/    ć/r = —

i

r dt _ f dl _ rć// 1 r dt 1 f dt

~ J/²(/²-lj^_ 't²{i²-l)~ ~^7⁺2 ^T-i~ 2'7+\~

₌ i₊I^,n|_/_^,|-I^ln(/ + ^,| = ^-+I^ln|_e*-¹|-i^|n|e^r+l|+C

Pomocniczo rozłożono funkcję wymierną na ułamki proste: 1 A B C D _    1 , I    1

t¹^-1)“ t ⁺ i²⁺ i-\⁺i + \ t^{2 +} 2(/-l) 2(/ + l)

144/    1

i

e‘ +e~

-dx= e

t / V+1 / y / r+l/ h ²+l

/+-/

= - ln|e^x| + In|^^2jr +1| + C = lnie²¹ +1| - .v + C 145/

u = x³ dii = 3jr<iv = e‘dx v = —e~

fx^}e^xdx =

= -xe~‘ +3fx²e ‘dr

u = x² du = 2xdx dv = e~‘dx v = -e‘

u = x du = dx dv = e~‘ v = —e~‘

= -xe~‘ -3x²e ‘ +6 jxe‘dx = -x²e ‘ -3x²e~‘ + 6 = V^x - 3x²e ‘ - 6xe ^x + 6 je'^zdx = -xe'^x - 3x V¹ - 6xe~’ - 6e^x + C

Do wyznaczenia całki 147/ wykorzystano wzór: 3^{1 2 3}® ⁵* = x In 3 log ₃ x = In x log ₃ x =

(1.43)

146/a‘dx _ 'a²' + l ~

a‘ = / Ina* = In/ dx =

dt

/Ina

= —arctgt + C = —arctg{d‘)+ C Ina    Ina

147/

floe,X£it = fiUi^L ₌ —L_ |j_n xdx = —

J    ^J In3 ln3^J    In3

r dt _ I j-dl ² In a{r + l) lna-^r+1

i a *1 u = In x du = —

x

dv = dx v — x

=-(x In x-x)+C

ln 3'

ln 3

148/

e'”dx

VT^=/    *2£l-

2 Vi

+ e

dt

(1.44) sinh x = shx =

e -e

(1.45)

cosh x = chx =

e +e

cosh x e^x - e~

sinh* e^x-e

(1.46) _sjnh x e‘ -e tghx=-

(1-47)    coshx e^x+e

ctghx = -

(1.48) _cosh ² _x - i + sjnh² *

⁽¹'⁵⁰⁾ ch'-x~^{ch2x + X} 2

(1-52)    _Sh2x

shxchx = -

2

(1.54) jc/u-ak ₌ sf_vc + £

(1.49) cosh 2x = cosh² x + sinh² x

O-⁵

2

(1.53) Jshxdx = chx + C

<¹⁵⁵> l*- = tHx₊C ' ch²x

-45-

1

Całki funkcji hiperbolicznych_

2

Całki funkcji hiperbolicznych wyznacza się tymi samymi sposobami

3

co inne całki. Należy wykorzystywać wzory dotyczące związków pomiędzy tymi funkcjami oraz wzory dotyczące całkowania funkcji hiperbolicznych. Poniżej podane są najważniejsze z nich.