img008

ROZKŁAD FUNKCJI WYMIERNYCH NA UŁAMKI PROSTE

PRZYKŁADY ^3(3^1+2) >x 2x^3-x^2+4x+3 2x^3-x^2+4x-3 ^ CerZlf	(x^4+2x^2+9)
x^4+2x^2+9 (x^2+2x+3)(x^2-2x+3) x^2+2x+3 ' x^2-2x+3
x^4+2x^2 +9 = (x^4 +6x^2 + 9) + 2x^2 -6x^2 = (x^2 +3) -(2x)^2 = (x^2 +2x + 3](x	^2-2x+3)
A=4-12<0	A=4-12<0

2J³ - X² + 4x 4 3 = (Ax + B) (x² - 2x + 3) + (Cc + D) (x² + 2x + 3)

Uwaga 1.2

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej niezależnej są równe.

1.2.

x^3	A.+0	=	2		A
x^2	^—2x4+B + 2 C + D	—	-1		B
X^1	3A-2B+3C+2D	=	4	=>	C
x°	3B+3D	=	3		D
	23	5		13
	32	64		64
3x-	1 + \ II H T-H ,	X			■

.    3

2

= 1

1^

2

= 0

(2x-l)(2x+3)(2x-5) 2x-l 2x+3 2x-5

(2x - l)(2x+3)(2x - 5)

W tym przypadku wygodniej jest postąpić inaczej, korzystając z następującej uwagi:

Uwaga 1.3

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego xe R mają one równe (te same) wartości.

W równości (¹) kładziemy kolejno: x = i,x = - j oraz x = y (są to miejsca zerowe mianownika zadanej funkcji wymiernej!) i otrzymujemy:

* ⁼ I^=>4(!)^2-34-¹¹ = 4²’ł⁺3X²4^_5)^+B'^0+C'⁰⁼¹'¹ = i

x = -l=>4(-|)²-3(-|)-ll = ^.0 ₊ B(-|-l)(-|-5) ₊ C.0=6_JB = ^

)^j-³4-¹¹="^,'^0+£-^0+c(²4-¹X²-I⁺³)^^c=S

x

2

4A+4B + 4C

x‘ -4A-12B + 4C x° -15A + 5B-3C

-11

A

B

C

23

32

5_

64

13

64

8

1

   4x¹ - 3x -11 = A(2x + 3)(2x - 5) + B(2x - l)(2x - 5) + C(2x - l)(2x + 3)