0027

29

§ 2. Całkowanie funkcji wymiernych

Ten rozkład ułamka właściwego na ułamki proste związany jest ściśle z rozkładem mianownika ułamka Q (x) na czynniki pierwsze. Jak wiadomo każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się jednoznacznie na czynniki rzeczywiste postaci x—a i x²+px+q, przy czym zakłada się, że czynniki stopnia drugiego nie mają pierwiastków rzeczywistych, a więc nie rozkładają się z kolei na czynniki liniowe rzeczywiste. Łącząc ze sobą jednakowe czynniki, jeśli takowe są, i przyjmując dla uproszczenia, że współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu Q (x) jest równy jedności, można zapisać schematycznie rozkład tego wielomianu w postaci

(3)    Q(x) = (x -af ...(x² + px+qYⁿ ...,

gdzie k, ... , m, ... są liczbami naturalnymi.

Zauważmy, że jeśli stopień wielomianu Q jest n, to oczywiście suma wszystkich wykładników k dodana do sumy wszystkich wykładników m da dokładnie n:

(4)    £k+2£m = n.

Dla dowodu twierdzenia o rozkładzie na ułamki proste udowodnimy najpierw następujące dwa twierdzenia pomocnicze.

1° Rozpatrzmy jakikolwiek czynnik liniowy x—a występujący w rozkładzie mianownika z wykładnikiem k ^ 1. Mamy

Q(x) = (x-a)¹(?,(x),

gdzie wielomian Q_x nie dzieli się już przez x—a. Wówczas dany ułamek właściwy

P{x) ₌ P(x)

Q(x) (x-afQi(x)

może być przedstawiony w postaci sumy ułamków właściwych

(x-af    (x—a)^1_10₁(x)

z których pierwszy jest ułamkiem prostym, a mianownik drugiego zawiera czynnik x—a w potędze niższej niż poprzednio.

Aby to udowodnić, wystarczy wybrać liczbę A i wielomian J^>l(x) tak, by spełniona była tożsamość

P (x) —AQ_t(x) = (x-u) P₁(x).

Określamy najpierw A tak, by lewa strona dzieliła się przez x—a. Na mocy znanego twierdzenia Bezouta wystarczy w tym celu, by dla x = a lewa strona była równa zeru. Otrzymujemy stąd

4 - na)

1

Litery P, Q z rozmaitymi wskaźnikami oznaczają tu wielomiany, a litery A, M,N — liczby stałe.