img033

CAŁKOWANE FUNKCJI WYMIERNYCH PRZEZ ROZKŁAD NA UŁAMKI PROSTE

stkim pozwala w wygodny sposób (za pomocą tylko mnożenia i dodawania liczb rzeczywistych) obliczać współczynniki ilorazu wielomianu postaci:

(3.9)    W_n:R3x^>W_n(x):=a₀xⁿ+a_lx'^,-^{1 2}+...+a„    (a_o, a_v ... a_n e R)

przez dwumian postaci*-a, gdzie a e R, tzn. współczynniki wielomianu W_nl takiego, że

(3.10)    W,(*) = (j_t-fl)H'.₁(x)+H(₁(a) dlaxe R.

Twierdzenie 33 (schemat Homera)

Jeżeli W_n jest wielomianem postaci (3.9) oraz liczby b₀, b,, b_n są wyznaczone według tabeli:

“o	<h	«2	...	^an-l	«n
fi II o®-	ab„ + a, = b,	afc,+fl2 =b2	...		abn^ + an=bn

to wielomian W_{n l}\R$x-*W_n__l(xy.=b₀x^{n l} + l\x" ³ + ... + b„__l spełnia warunek (3.10) oraz W_n(a) = b_n.

3.4. Aby obliczyć całkę

J

33

1

PRZYKŁADY

x⁴ - 2x* + 4x³ - 4* + 3 ,

-i-i-*

x⁵-2x³ + x

zauważmy najpierw, że funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną, w której stopień licznika jest silnie większy od stopnia mianownika. Wobec tego najpierw wykonujemy dzielenie wielomianów:

x³-l_

(*⁴-2x⁶ + 4x³-4x + 3):(x⁵ -2x³ + x)

5    „ 4 .    3

* -2x + x ^=    = -x⁵+4x³-4x

-x⁵ + 2x³ -x =    2x³ -3x+3

2

otrzymujemy

3

x^s -2x⁶ +4x³ -4x+3    ₂_    2x³-3x+3

4

na ułamki proste:

2*³ -3x + 3    3    2    __1_

*(*-l)³    * (x-l)³ *-l

5

x⁵-2x³+x ^X x⁵-2x³+x

6

Teraz mianownik*⁵ - Zr³ + * rozkładamy na czynniki liniowe bądź kwadratowe z wyróżnikiem ujemnym: X⁵ - 2r +* = *(*- l)³ i rozkładamy funkcję wymierną

2x³ -3x + 3 *(*-l)³