img037

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH PRZEZ WYODRĘBNIENIE CZĘŚCI WYMIERNEJ

jając jednak tę kwestię, ostatnie przykłady—zwłaszcza dwa ostatnie — pokazują wyraźnie, iż mimo wszystko całkowanie funkcji wymiernych jest i tak zadaniem szczególnie uciążliwym, jeśli w rozkładzie na ułamki proste pojawiają się te, które w mianowniku mają trójmian kwadratowy (z wyróżnikiem ujemnym!) w potędze większej od jeden (zobacz (1.4)). Całkowanie bowiem takich ułamków prostych II. rodzaju jest rachunkowo żmudne i stosunkowo długie (trzeba m.in. stosować wzór rekurencyjny (3.7)). Twierdzenie, które cytujemy niżej, pozwala w wielu przypadkach łatwo pokonać wspomniane trudności.

Twierdzenie 3.4 (Ostrogradskiego)

Jeżeli W_t i W_m są nieskracalnymi wielomianami zmiennej rzeczywistej o współczynnikach odpowiednio stopnia l i m,przy czym l < m (zobacz uwagę 3.3), to

(3.11)

r WM

KM

dx =

0, M ^J 0₂ W

gdzie wielomian QJest największym wspólnym podzielnikiem wielomianów W_m i W^, Q₂:=

W_m

a

.P, i P₇ zaś są wielomianami stopni odpowiednio o jeden mniejszych od stopni wielomianów Q_i i Q_v których współczynniki wyznaczamy ze związku (3.11), równoważnego równości:

(3.12)

W*)

KM'

a W

PtM

w taki sam sposób jak liczniki ułamków prostych w rozkładzie funkcji wymiernej na takie ułamki.

Uwaga 3.4.

Jeżeli są spełnione założenia twierdzenia 3.4, zwanego też twierdzeniem o wyodrębnieniu (wydzieleniu) części wymiernej z całki funkcji wymiernej, oraz wielomian W ma postać:

(3.1.3)    W_m(x) = (a₂x+b_l)^>:'...(a,x+b,)*'(p_lx¹ +q_lx+r_lf ...(p,x² + q,^x+r_tf

gdzie k_v ..., k_t, l_v ...»l_t € N_y k_x + ... + k_s + l_} +... + l_t = m, qf -4< 0 dla i = 1,..., to

02M = [^ + b_l)--{^a,x^+b,){pM ⁺⁽h^{x +} r_i)-{p_lx² +Q,x + r,),

Q_l jest zaś wielomianem spełniającym równość: W_m = (2, •    .

Aby Czytelnik mógł sam ocenić korzyści płynące z zastosowania twierdzenia 3.4, policzymy jeszcze raz całki z przykładów 3.6 i 3.7.

PRZYKŁADY

3.8. Wiemy już, że

(•    xdx    _ (■ xdx

J z⁵ + *⁴ - 2*³ - 2x² + *+1 " J (*_ l)²(*+1)³

(zobacz przykład 3.6). Teraz stosujemy twierdzenie Ostrogradskiego oraz twierdzenie 1.1 i otrzymujemy:

r_f* ^a*^1+Bx+c_+d(J?l₊e(Jk

•^l(x-l)(x+l)    (z-lX«+l) ^J x-l i x+l’

37