img028

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Całkowanie ułamków prostych

Ze wzorów 15 i 16 zapisanych w tablicy 3 otrzymujemy natychmiast wzory na całkę z ułamka prostego I. rodzaju:

(3.4)

Adx (ax + b)"

—ln|a* + fc| + C, a

. ~.A___\_+C

a(n-l) (ax+b)"~'

(A, a, b e R, a * 0, n e N).

gdy n = 1 gdy n > 1

Całkowanie ułamków prostych II. rodzaju jest znacznie trudniejsze. Zauważmy, że jeśli A, B, a, b, c, € R oraz A = b² - Aac < 0, to

(3.5)

Ax + B , A r 2ax+b , f„ Ab^r dx

—.-dx-— — -dx+\ B--I —--

ax +bx+c 2a^J ax +bx+c V    2a J^J ax +bx + c

Wobec tego, stosując wzory 23 (tablica 4) i 17 (tablica 3) otrzymujemy natychmiast wzór na całkę z ułamka prostego II. rodzaju w przypadku n — 1:

(3.6)

Ax+B

-dx =—lnjax² + i«:+c| + ax* + bx+c    2 a ¹

2 aB-bA

V-A

-aretg-

2 ax+b

Tz

+c

(A, B,a,b,c e R, A = b² - 4ac < 0).

W przypadku, gdy n > 1, całkowanie ułamków prostych II. rodzaju jest jeszcze bardziej „rachunkochłonnc”, chociaż sama receptura nie jest zbyt skomplikowana. Aby ją sformułować zauważmy najpierw, że jeśli n e N, to

dt

i+r²

/=-

(Ut

g'=l

2\"

/'=

2 nt

(l + r²

8 = ‘

= ‘— + 2n\-—

(l + r²)"    Ml + t²

-dt =

t _n t i+r-i    t

- + 2 n I-rrrdt —-— + 2 Tl

MU

(l ₊ r²)"

l+r

f dt	f ^dt
^ (l + r^2)"	>'^2n

= —^t—⁺'^ln\K~K.x\

(i«T

Z ostatniej równości wyznaczamy / , i otrzymujemy bardzo użyteczny wzór rekurencyjny:

(3.7)

f dt 1 t 2n-l r dr J(i+r²)"⁺‘ M (i₊,=)’⁺^rJ(i₊r²r

(n e A).

28