chądzyński 5

chądzyński 5



164 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że iloczyn n^Li (l + f;) e~z/V jest zbieżny dla dowolnego z G C. Oznaczmy przez h{z) jego wartość' w punkcie z. Dla 2 = 1 z zadania 9.3.2 mamy

(p    y^(Log(i+b) -b) = Logh(i).    I

Ponieważ    Log (l +    = Log (n + 1), więc z (1) dostajemy

(2)    lim (    (l/v) - Log (n 4- 1) ) = - Log h (1).

\v=l    /

Oczywiście lim^oo (Log (n + 1) — Logn) = 0. Stąd i z (2) mamy

(3)    lim ( Y (1/^) ~ Logn )= -Log h(l).

r)—\    V    /

,i/=i


Kładąc w (3) 7 = — Log/i(l), dostajemy (1). To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Niech A : C —> C będzie funkcją całkowitą określgną wzorem A (z) = ze7Z (l + ~)    Pokazać, ze dla z G C maimy

z (z + 1) • • • (z + n)


n\n


V=l


z\    z (z + 1) • • • (z + n)

e ' =--:-exp

vj    n\nz


z Log n — Y;


v=\


1


Stąd, przechodząc do granicy przy n —> 00 i korzystając z określenia 7, dostajemy

n(i+


- 1 e-z/v = e~7Z lim


z (z + 1) • • • (z + n)


Jnz


U=1


nin


co daje (1).


To kończy rozwiązanie.

Zadanie 4. Niech Z_ = {O, —1, —2,...}. r wzorem

Określmy w C \ Z_ funkcję

i -i


T{z) =


L z/=i    J

Pokazać, ze funkcja F jest meromorficzna w C, ma bieguny tylko w zbiorze Z_ i wszystkie te bieguny są jednokrotne. Ponadto

(*)    r (1) = 1 i T (z + 1) — zT (z) dla z ^ Z_.

Funkcję F nazywamy gammą Eulera.

Rozwiązanie. Funkcja 1/Y, w myśl zadania 3, rozszerza się do funkcji całkowitej A. Fimkcja A ma w punktach zbioru Z_ zera jednokrotne. Zatem funkcja T, w myśl twierdzenia 1.34.2, jest meromorficzna w C i, na mocy wniosku 1.32.5, ma bieguny jednokrotne w punktach zbioru Z_. Ponadto z zadania 3 marny A (1) = lim^^n + l)/n = 1 i

z A (z + 1) = lim

n—kx>


z(z + l)“-(z + n) n\nz


z + n+1 hm -

n—»oo    n


= A (z).



Stąd i z określenia T dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

1

   A (z) = lim

n—>oc

gdzie nz — ezLogn.

Rozwiązanie. Istotnie, w myśl zadania 1, funkcja A jest całkowita. Co więcej, dla dowolnego z G C mamy


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński 1 156 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Rozwiązanie. Z twierdzenia 1.13.3 wynika, że f
chądzyński 4 162 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Na koniec pokażemy, że zachodzi (**). Ze zbież
chądzyński9 152 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Zadanie 1. Pokazać, że funkcja, holomorficzna
chądzyński 2 158    9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Zadanie 6. Niech {aw} będzie
chądzyński7 148 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Pn taki, że(1)
chądzyński8 150 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Na mocy małego twierdzenia Rungego (wniosek 1.
chądzyński 0 154 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI bez straty ogólności założyć, że (1)  &nb
chądzyński 3 160 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI7, oo(i)    (i - KI) < °°- n=
chądzyński5 40 2. FUNKCJE ZESPOLONE Stąd (1)    tg Ti (z) = tg T2{z) dla z £ E. Z za
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
str032 70 169. Niech P będzie zbiorem, a / funkcją określoną w rozwiązaniu zadania 166. Niech h
14 Rozwiązanie: Z uwagi, podanej w treści zadania, wynika, że różnica poziomów rtęci w manometrze wy
4 (1562) i. FUNKCJE WYMIERNE co Zadania powtórzenioweZestaw B. Zadania zamknięte    1
Rozwiązanie Z treści zadania wynika, ze m +1 * 0. czyli m * -1. Trójmian/ma dwa różne pierwiastki
306 XVI. Całki funkcji wymiernych Rozwiązanie. Zakładamy, że ax + bjtO. Wykonujemy podstawienie ax+b
155 2 308 XVI. Całki funkcji wymiernych Rozwiązanie. Obliczamy wyróżnik trójmianu znajdującego się w
39,40 (2) Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że P(X = X;) = — dla i=1, 2, ...,n. Zatem n 1 EX =
chądzyński6 2 i. WSTĘP Zadanie 2 Pokazać, że jeśli zy, z2 € C, to Rozwiązanie. Wystarczy skorzystać
chądzyński0 I 174 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE Zadanie 9. Niech K = {z G C : z <r} i

więcej podobnych podstron