164 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI
Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że iloczyn n^Li (l + f;) e~z/V jest zbieżny dla dowolnego z G C. Oznaczmy przez h{z) jego wartość' w punkcie z. Dla 2 = 1 z zadania 9.3.2 mamy
(p y^(Log(i+b) -b) = Logh(i). I
Ponieważ Log (l + = Log (n + 1), więc z (1) dostajemy
(2) lim ( (l/v) - Log (n 4- 1) ) = - Log h (1).
\v=l /
Oczywiście lim^oo (Log (n + 1) — Logn) = 0. Stąd i z (2) mamy
(3) lim ( Y (1/^) ~ Logn )= -Log h(l).
r)—\ V /
,i/=i
□
Kładąc w (3) 7 = — Log/i(l), dostajemy (1). To kończy rozwiązanie.
Zadanie 3. Niech A : C —> C będzie funkcją całkowitą określgną wzorem A (z) = ze7Z (l + ~) Pokazać, ze dla z G C maimy
z (z + 1) • • • (z + n)
n\n
V=l
z\ z (z + 1) • • • (z + n)
e ' =--:-exp
vj n\nz
z Log n — Y;
v=\
1
Stąd, przechodząc do granicy przy n —> 00 i korzystając z określenia 7, dostajemy
- 1 e-z/v = e~7Z lim
z (z + 1) • • • (z + n)
Jnz
U=1
nin
co daje (1).
□
To kończy rozwiązanie.
Zadanie 4. Niech Z_ = {O, —1, —2,...}. r wzorem
Określmy w C \ Z_ funkcję
i -i
T{z) =
L z/=i J
Pokazać, ze funkcja F jest meromorficzna w C, ma bieguny tylko w zbiorze Z_ i wszystkie te bieguny są jednokrotne. Ponadto
(*) r (1) = 1 i T (z + 1) — zT (z) dla z ^ Z_.
Funkcję F nazywamy gammą Eulera.
Rozwiązanie. Funkcja 1/Y, w myśl zadania 3, rozszerza się do funkcji całkowitej A. Fimkcja A ma w punktach zbioru Z_ zera jednokrotne. Zatem funkcja T, w myśl twierdzenia 1.34.2, jest meromorficzna w C i, na mocy wniosku 1.32.5, ma bieguny jednokrotne w punktach zbioru Z_. Ponadto z zadania 3 marny A (1) = lim^^n + l)/n = 1 i
z A (z + 1) = lim
n—kx>
z(z + l)“-(z + n) n\nz
z + n+1 hm -
n—»oo n
= A (z).
□
Stąd i z określenia T dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.
A (z) = lim
n—>oc
gdzie nz — ezLogn.
Rozwiązanie. Istotnie, w myśl zadania 1, funkcja A jest całkowita. Co więcej, dla dowolnego z G C mamy