chądzyński 1

156 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Rozwiązanie. Z twierdzenia 1.13.3 wynika, że funkcja Log ma w punkcie 1 pochodną równą 1. Zatem istnieje takie otoczenie U punktu 0, że

Log (1 + z)

- 1

dla zGU\{ 0}.    *

2    *

Stąd

(1)    (1/2) \z\ < |Log (1 + z)\ < (3/2) \z\ dla z G U.

Korzystając z warunku koniecznego zbieżności bezwzględnej iloczynu (*) albo z warunku koniecznego bezwzględnej zbieżności szeregu (**), można bez straty ogólności założyć, że a_n — 1 G U dla n € N₀. Stąd, w myśl (1), dla każdego n mamy

(2)    (1/2) \a_n - 1| < |Loga_n| < (3/2) |a„ - 1|.

Z (2) dostajemy, że zbieżność szeregu |Log o_n| jest równoważna zbieżności szeregu Y^=i \a_n — 1|. Z drugiej strony, na mocy własności 1.54.3, zbieżność szeregu V/L₁ |a_n — 11 jest równoważna zbieżności iloczynu JIJHi (1 + \a_n — 1|), czyli bezwzględnej zbieżności iloczynu

Reasumując, bezwzględna zbieżność szeregu (**) jest równoważna bezwzględnej zbieżności iloczynu (*).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Niech a_n — (—l)^{n 1} /y/n. Pokazać, ze szereg    a_n

jest zbieżny, a iloczyn 0 + o,_n) - rozbieżny.

Rozwiązanie. Szereg    ^an jest zbieżny, co wynika z kryterium Leibniza.    ;

Pokażemy teraz rozbieżność iloczynu [IZi (1 + fln). Niech p₇[ = riLi (!+«*)• Zauważmy najpierw, że    i

I

I

l

I

!

i

i

i

i

!

^{0 <} i¹ V2k) (* ⁺ V2Fn)

_ i 1 1 1

V2k \/2k + 1 V2kV2kTl

, 1 , 1

<1------- <1--k = 1 9

\/2k^2k +1    2k+ V '    ⁷

Stąd

(1)    o < P2„₊₁ < 2 f[ (l - 2jTjrj) •

fc=l ^{v    7}

Na mocy zadania 1 iloczyn II^i (1 ~ ^fl) rozbieżny. Ponieważ ciąg jego iloczynów częściowych jest malejący, to

(¹-0"-(¹-^Tt)^=o-

Zatem na mocy (1) mamy lim*.-,^ p_2n+i — 0. Również lim p_2n = lim p_2n~i -fi--t= ) = 0.

n—*-oo    n—►oo    \    y 2 U/

Stąd limn^oo p_n — 0. Ponieważ 1 4- a_n ^ 0, to rozważany iloczyn jest rozbieżny.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 5. Niech

1 fy/k    dla n — 2k — 1,

d_n

— 1/ ^1 4- y/k^j dla n — 2k.

Pokazać, że iloczyn    (1 + a_n) jest zbieżny, a szereg    ^an ^roz~

bieżny.

Rozwiązanie. Niech p_n będzie n-tym iloczynem częściowym, iloczynu n~i (! + ««)- Wówczas p_2n = 1, bo

^dla

Ponadto lim_n^₀₀p₂n-i = lim_?woo P2n-2 (l 4-    — 1. Reasumując,

lim^^oo p_n = 1, co daje zbieżność rozważanego iloczynu.

Z określenia ciągu a_n mamy

^a2n~l 4- «2n

1    J_

yfn (1 4- y/h) ~ 2n

□

co daje rozbieżność szeregu ^an-To kończy rozwiązanie.