8873811864

Rozwiązanie

Z treści zadania wynika, ze m +1 * 0. czyli m * -1.

Trójmian/ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. gdy jego wyróżnik jest dodatm. czyli A = (2(m-2))^} - 4-(w+l)-(-i»+4) > 0.

Znr -2S«>0,

4w(2w-7)>0.

Stąd wg (-<w.0)u(^,+«>).

D = (-oo, -1) u(-l, 0) u(■?, +«) jest zbiorem wszystkich wartości parametru m, dla których funkcja/jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki Warunek x: -xi = x,' - x! możemy zapisać w postaci równoważnej

“ *2 ■(*.*+*iX*r

fc    +x_ł)fl-(x|³+x_ł²))=0.

Stąd

x -x, = 0 lub x, + x_: = 0 łub 1-(x,² +x;)= 0.

Równość x, - Xs b 0 przeczy założeniu x, # x_;.

Ze wzoru Viete a na sumę pierwiastków trójnuanu kwadratowego możemy równanie —

x. + x, = 0 zapisać w postaci —--— = 0 Stad m = 2 « D

m+1

Równanie 1 - (x.^: + x; ) = 0 możemy zapisać w postaci równoważnej

(x, +x,)"-2x,x, = 1.

Ze wzorów' Viete’a otrzymujemy

-2.ZE±£„1,

m+l )    w+1

4(wr-4w+4) _| 2w-8 _{__Q (w+iy w+1

4 m^} -16m +16+(2w - 8) (m+1) - (m+1)² * 0,

5 itr - 24m+ 7 = 0.

Rozwiązaniami tego równama są liczby

12-7109 _n    12+7109 _n

?», =    .    <£ D oraz m. =    .    - g D.

5    •    5

Istnieje zatem jedna wartość parametru    ^, dla której trójnuan/ma dwa różne

pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek x: - x,³ = x,⁴ - x?.