skanowanie0003

Ćwiczenie 3

Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki? ł) —3x² + 2x — m = 0    b) x² + (2m + l)x + 5 = 0 c) mx² + x — m = 0

Przykład 3

Dla jakich wartości parametru k równanie x² — kx-\-k — 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków?

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy A > 0; pierwiastki te mają jednakowy znak, gdy X\ • x₂ — ~ > 0.

A = k² - 4(fc - 1) = k² - Ak + 4 = (k - 2)², f = k - 1 Otrzymujemy zatem układ nierówności:

(k — 2)² > 0 i fc-l>0, k^2 i k>l.

Równanie ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy k € §1; 2) U (2; oo).

Ćwiczenie 4

Dla jakich wartości parametru k równanie ma pierwiastki różnych znaków? a) x² — (k + 2)x + k — 2 = 0    b) kx² + (fc — l)x —1 = 0

Zadania

1.    Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m.

a)    x² — Qx + 2m = 0    c) 3x² + 4x + 4 — m = 0

b)    \x² — (m - 2)x + m — 2 = 0 d) mx² — Ax + 1 = 0

2.    Uzasadnij, że równanie 2x² + mx — 3 = 0 ma rozwiązanie dla dowolnego m € R.

3.    Wykaż, że nie istnieje taka wartość parametru m, dla której równanie x² + (m + l)a; + m² + 1 = 0 ma rozwiązanie.

4.    Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa rozwiązania różnych znaków?

a) x² - 2x + k + 3 = 0    b) x² + kx — k = 0

5.    Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki, które są liczbami dodatnimi, a dla jakich - ujemnymi?^.

a) x² — (m + 2)x + m + 5 = 0 b) x²^f^mx + m + 3 = 0

5.12. Równania kwadratowe z parametrem 215