DSC07333

Układy równań liniowych

Przykłady

Układy C ram era

Przykład 4.1

Dla jakich wartości parametru p podane układy równań są układami Cramera:

4- 3y -j- 3z = px 3x + y + 3z = py ? 3x + 3y + z = pz

Rozwiązanie

Liniowy układ równań postaci AX = fi jest układem Cramera, jeżeli macierz d tego układu jest macierzą kwadratową o wyznaczniku różnym od zera. a) W zapisie macierzowym rozważany układ ma postać

t 1 w	f * 1 _ f 3p 1
L ^2 -»J	[yJ"l^7 J

I ©p³ -3

I ² -1

Wyznacznik macierzy tego układu jest równy

det A

= 6(1 -p²).

Dany układ jest zatem układem Cramera dla - l oraz p 1.

Przykłady

85

b) Zapisując rozważany układ macierzowa mamy

1 -p	3 L	^3 1	RE i r o i
3	1 —p	m ■	\ V = °
. 3	3	^1 -p.	L = J L oj

Dolej

det A =

1 — p 3 3    1-p

3    3

3

3

-P

U»1 -WJ U*3 - U>3

|-2-p    0    2+p|

0    -2-p2 + p »>+(»,+*,)

I 3    3    l-p|

—2^!-p    0    0

(2 + p)*(7 — p).

-*jl 0'    —2 — p 0

li 3    7 —p

Układ ten jest więc układem Cramera dla p ^ —2 oraz p jt 7.

• Przykład 4.2

Korzystając ze wzoru Cramera znaleźć rozwiązania podanych układów równań:

{* # 2y z = jfJ 3x + y + z 2 . x    - 5 z = 0

a)

9z -7x +

8 V =

2y =

Rozwiązanie

Jedyne rozwiązanie układu Cramera postaci AX = B z niewiadomymi xi, xj, .... z„ wyraża się wzorem

_ det Ai    _ det Aą    _ detd_n

^Ił det A ' ^X~ det A’ ' ” ’ ^X" det A ' gdzie Ak oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie jej fc-tej kolumny przez kolumnę wyrozów wolnych B. a) Mamy

det A =

zatem x = b) Tutaj

9 -8 7 2

74, det Ai —

4 -8 3 2

det Ai _ 16    _det Az _    1

det A “ 37’ ^V ~ det A ~    74'

= 32, det At =

	12-1		1 2 -l
det A =	3 1 1	-28, det Ai =	2 1 1
	10-5		0 0-5

9 4 7 3

	1 l -1		1 2 1
det Az =	3 2 1 10-5	= 8, det Az =	3 12 1 0 0

2

7'

3_

28'

Stąd wynika, że z = y 28

• Przykład 4.3

Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą z spełniającą układ równań: 12+ z + j/ = 10 + p + z = S + 2+ u = 6 + u + o = 10* + w = 15.