ODPOWIEDZI Macierze i geometria2

204

Rozdział 1. Układy równań liniowych

Rozdział 4 (str. 115)

4.1    a) dla p —1 — \fi oraz p ^ — 1 + \/2\ b) nic istnieje takie p; c) dla każdego p 6 R;

d) dla p -2 oraz p ^ 2.

4.2    a) a: = —, y = —; b) a: = -, y = -, z    =    c) * - 1, y = 2, z = 3.

4.3    a) y= b) y= y-; c) y = 2.

4.4    a) x = 1,1/ = —1; b) x = -2,y = 0, z = 7; c) x = 3,y = 2, z = —1; d) a: = —3,j/ = 2,z = — l,t = 3.

4.5    a) 1; b) 3; c) 2; d) 3; e) 4; f) 4.

4.6    a) 3; b) 2; c) 4; d) 2; e) 4; f*) 6.

4.7    a) 3; b) 2; c) 2; d) 1.

4.8    a) dla p = -3 lub p = 1 lub p — 2 rząd jest równy 2, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 3;

b)    rząd jest równy 2 dla każdego p 6 R;

c)    dla p = 2 rząd jest równy 2, dla p =4    2    rząd    jest równy 3;

d)    dla p = 1 rząd jest równy 1, dla p ^    i    rząd    jest równy 3;

e)    dla p = 1 rząd jest równy 2, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 3:

f*) dla p = 2 rząd jest równy 1, dla p = -2 rząd jest równy 3, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 4.

4.9    a), d) nieskończenie wiele rozwiązań, 1 parametr; b), c) brak rozwiązań; e) nieskończenie wiele rozwiązań. 2 parametry.

4.10    a) {«/}, {z}; b) wszystkie możliwe pary niewiadomych, tzn. {x,y}, {x,z}, {x,t}, {y,*}, {y,t}, {z,t}; c) {a:,?/,*}, {x,y,s}, {x,y,t}, {z,z,s}, {z,s,t}, {y,z,s}>

{:</,«. t}.

4.11    Układ nie ma rozwiązań, ma dokładnie jedno rozwiązanie, ma nieskończenie wiele rozwiązań odpowiednio

a)    dla p = i, dla P ^ i V # 3. dla p = 3;

b)    nigdy, dla p ^ 4 i p ^ 0, dla p = 4 lub p = 0;

c)    dla p = —2, dla p — 2 i p ^ 1, dla p = 1;

d)    dla p = 2, dla p ± 2, nigdy; e) dla p € R, nigdy, nigdy.

4.12    a) wyrób D waży 44 dag, zaś wagi wyrobu E na podstawie tych danych nie można uzyskać;

b)    detale a,b,c ważą odpowiednio 4, 2 i 3 dag.

4.13 a) x = -i, y =    b) x = 2, y — -1, z= 1; c) x = 0, y- 2, z = -3;

d) x= y=    .? = —e) x= l,y= -2, z = 0,1 = 2;

f)    £ = 10, y = 3,2 = 0, s = —1,1 = 0.

4.14    a) x = 0, y = 2, z = b) a: = l,y = 2, z = 3,1 = 4;

4.15

c)    a: = -l,y = 1,2! = -l,a = 2,1 = 2; d) x — l,y = 0,z = 1,« = 0,1 = 1.

a) x — 1, y = -1,2 = 1; b) układ jest sprzeczny;

c)    x = — 1 — t,y = 1,2 = 0, gdzie 1 e R;

13    14

d)    x = - - '-z + s - t, y = - + -z - s, gdzie z,s,t £ R.

Odpowiedzi i wskazówki

205

V    1

4.16    a) układ jest sprzeczny; b) y = - + s, z = -4 - 2x - s, t = -, gdzie x,s e R;

c)    t = —1-ł-t, %/ = 4 — t, z = 1 — 1, gdzie teR;

d)    x= — 5 + 3p + z + 2s, t — —2z, gdzie y,z,s & R.

4.17    Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub też nie posiada rozwiązań odpowiednio dla:

a)    p £ R \ {-5,3}, p = 3, p = -5;

b) p€R\{—l,-7},p=—l,p=—7.

4.18    Czasy potrzebne na narysowanie formy, wycięcie, złożenie modelu i pomalowanie wynoszą odpowiednio 1 minutę. 3 minuty, 2 minuty i 4 minuty.

Rozdział 5 (str. m)

5.1

5.2

a) 13; b) 4; c) y/g² + h?\ d) g.

(2+ 6), ia- b, ]rb

5.3

5.4

5.5

1 <■*

2

a) u = (cosa,sin a. 0); b) ii = (cosa,cos/?, cos7); c) U = -L (2,3, -2) lub u = —^=(-2, -3,2).

a) 5; b) -17; c) -1.

a) arccos    « 2,37(radJ ss 135,8°; b) ^ [rad];

25    o

c) ipi - arccos—« 0,52 [rad] w 29,8°, <p-2 = arccós-^== « 0,39 [rad] 3v59    v295

22.3°, <p3 = arccos

13

3\/35

0, 75 [rad] « 43,0°.

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

9

\/l3

a) (-4, —6, —17); b) 3i + 5j + 2k; c) p — 7q + 5r. a) S = n/285; b) S = \/6l;

c)S=i(|uxu| + |t;xtS| + |uixu| + |(ii-ti)x(i5 — v)|).

_ y/14910 ^lc ~    35

a) -55; b) 22.

a) |V| = 9; b) | V| = 2; c*) |Vj = ^ |(v - w, u - w, u + v)| = i |(u, v, w)|. a) tak; b) nie.

a)    3p-2z + 6 = 0, (x,y,z) = (1, -2,0) + s(l, 0,0) 4-1(0,2,3), gdzie s,t 6 R;

b)    19x -8y -z = 0, (x,y,z) = (0,0,0) + s(l,2,3) + t( —1, —3,5), gdzie s,t S R;

c)    5x 4- z - 9 = 0.    = (1, -3,4) + s(0,1,0) 4 t(l,3, -5), gdzie s, 1 € R;

d)    x—y+z— 5 = 0, (x,y,z) = (1, —1,3) + _s(l, 1,0) + 1(0,1,1), gdzie s,f £ R;

e)    3x — y + 3 = 0, (x,y, z) = (o, 3, o) + s(0,0,1) 4-1(1,3,0), gdzie s, 1 6 R.

f)    -x + y + z + 4 = 0, (x,y,_z) - (2,1, —3) + s(l, 1,0) 4- 1(0,1, —1), gdzieś,! 6 R.