s108 109

3. MACIERZE, WYZNACZNIKI I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

3.1. Działania na macierzach

1. Dane są macierze:
A	3 4'	, B =	1 0'
	-1 2		-2 3
Wyznaczyć: (a) A — 3B, (b) A^1 + B^1 +I.

Rozwiązanie

(a) Korzystając z definicji mnożenia macierzy przez liczbę, oraz różnicy macierzy (o jednakowych wymiarach) otrzymujemy

3 4'		h—^1 O		3 4		CO O		0 4
-i 2	- 3	-2 3		-1 2		-6 9		5 -7

A-3B

(!>) Zgodnie z definicją, macierz transponowaną A¹ otrzymujemy z macierzy A przestawiając w niej wiersze na miejsce kolumn z zachowaniem ich kolejności. Ponieważ I oznacza macierz jednostkową, więc mamy

'3 -1'		ri —21		1 0'		'5 —3
4 2	+	o Co	+	0 1		4 6

A¹ + B^r + I

2. Obliczyć iloczyn A-B, jeżeli

	1	0‘		T 2
A =	2	1	, B =
	1	3

Przypomnijmy definicję mnożenia macierzy. Iloczyn A ■ B dwóch macierzy A i B jest określony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Załóżmy, że A = A_mxn oraz B = B_nxp. Wtedy iloczyn A B jest macierzą C o wymiarze mxp, której elementy c,j są określone wzorem

77

Cjj ^ ^ dikbkj j i 1)2,*'*, m, j 1,2, ■ • ■, p.

/t=i

Zauważmy, że element c,j otrzymujemy przez przemnożenie i-tego wiersza macierzy A przez j-tą kolumnę macierzy B, a więc c,j zależy od wszystkich elementów i-tego wiersza macierzy A i wszystkich elementów j-tej kolumny macierzy B. Mamy więc

	1 dii	ai2	^aln I"			bu	bi2	bip'
AB =	<321	«22	02 n			&21	622	• Ć>2 />
	■ Orni	Oin2 ’	® m n -			b„ i	bn2

~|^cll|    C12    Ci_p

C-21    C-22    ' ' ’ C2p

-C_ml C_m 2    *** Cmp _

W naszym zadaniu macierz A ma wymiar 3x2, natomiast B jest wymiaru 2x1. zatem warunek wykonalności mnożenia A B jest spełniony. Zgodnie z definicją iloczynu macierzy mamy

"-1 2	0‘ 1		r 2	=	Cli C21
1	3				_ C31 _

gdzie

c_u =-1-1+0-2 =-1, C2i = 2-l + l-2 = 4, c₃i = 1 • 1 + 3 • 2 = 7, a więc

'-1 Ol r -i    [-1"

2 1 J =    4 .

^{1 3}J L ⁷.

Zauważmy, że w tym zadaniu mnożenie B A nie jest wykonalne.