MATEMATYKA177

344 VU Macierze. Wyznaczniki. Układy równa/1 liniowych

DZIAŁANIA NA MACIERZACH Zanim zdcfiniujcim działania na macierzach, określimy równość macierz)'.

Dwie macierze nazywamy równymi, gdy mają te same wymiar) oraz ich elementy stojące na tych samych miejscach w obu macierzach są równe:

/ \^<lcl

U^a>kLn = [^bikL, J ° <^aii = ^b*.¹ = ¹.....^k = ¹.....">

Sumę i różnicę macierzy o tych samych wymiarach definiujemy równością:

def

[^a'k]_mxir[^b'^kLxn ⁼ [^a>k^±bik]_mxn-

Mnożenie macierzy przez liczbę t e R definiujemy równością

def

* [^aik]mxn ⁼ [^taikLxn-

Zgodnie z przyjętymi wyżej definicjami otrzymujemy:

	^r3	1		1	Ol		6	2		1	O^1		7	2]
2	2	0	+	2		=	4	0	+	2	-1	=	6	-1
	1	-2		3	1		2	-4		3	1		5	3

A teraz zdefiniujemy mnożenie macierzy przez macierz: Iloczynem macierzy A ~ [^a»j]    ¹ ^ ⁼ [^jl] nazywamy

macierz C = [cj^ ]_{m v} której elementy są określone wzorami

^cik “ ^ail^bl»c ⁴ ai2^b2k^H—^^ais^5ik . ¹ = 1.....m, k-l,...,n,

czyli

def

[^a‘j]_mJ^bJkL„ = [»«•>&+"•+»»'^b*Ln-

Element c,_k jest więc równy sumie iloczynów kolejnych elementów' i-tego wiersza macierz)' A i kolejnych elementów k-tej kolumny macierz)- B Mówić będziemy krótko: element jest iloczynem i-tego wiersza macierzy A oraz k-tej kolumny macierz y B. Stąd tci wynika warunek wykonalności mnożenia AB : liczba elementów w wierszu macierz)- A musi być równa liczbie elementów w kolumnie macierzy B, czyli liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B.

PRZYKŁAD II Znajdziemy macierz O AB, gdy

»-M' “[114

Z definicji iloczynu macierzy wynika, że macierz C ma wymiary

2x3:

ę ₌ [^Cll ^CI2 ^C13l

L^C21 ^C22 ^C23.r

gdzie

C|j = { (1 wiersz macierzy A)*( 1 kolumna macierzy B) } = 3 • 1 + (-1) • 0 =*3,

Cj2 = { (1 wiersz A)*(2 kolumna B) } = 3(—2)    1) • 1 = -7,

C|3 ={ (1 wtersz A) (3 kolumna B) } = 3-0 f-(— l)-(—1) = l,

^C21 ⁼ 1 (2 wiersz A) (l kolumna B) } = 2 -1 + 0-0 = 2, ^c22 ~{ (- wiersz A) (2 kolumna D) } = 2*(-2) + 0-l = -4,

C₂3 = { (2 wiersz A)*(3 kolunma U) } = 2 *0 + 0»(-l) = 0.

Zatem

[3 -li [1-2 Ol    [3 -7 1]    _H

[2 Oj [0 1 -lj    [2 -4 OJ-    "

Zauważmy, źc mnożenie BA macierzy z powyższego przykładu nie jest wykonalne. Przy odpowiednio dobranych wymiarach macierzy A i B można wykonać mnożenie AB oraz BA, ale wynikiem tego mnożenia wcale nie musi być ta sama macierz. Oznacza to, żc mnożenie macierzy nic jest przemienne.

Przy założeniu, ic wskazane niżej działania są wykonalne prawdziwe są następujące równości:

przemienność dodawania łączność dodawania łączność mnożenia (O - macierz zerowa)

(1 - macierz jednostkowa)

A + B ~ B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

(AB)C = A(BC)

A +0 = A, O A =0, AO = O IA = A, Al = A