ODPOWIEDZI Macierze i geometria2

204

Rozdział 1. Układy równań liniowych

Rozdział 4 (str. 115)

4.1 a) dla p jz — I — \fi oraz p ^ — 1 + \/2; b) nie istnieje takie p; c) dla każdego p € R;

d) dla p -fi — 2 oraz p ^ 2.

^4-2 X =^'V-'\\'^^x~\'^v=\^,z=~\'^c}^{x = 1}'^{y = 2,z}~ ³'

⁴-3 a) 2/= yj; b) ?/= -j^; c) j/ = 2.

4.4    a) x = 1,7/= —1; b) x = -2.p = 0, z = 7; c) a; = 3,y = 2, 2 = —1; d) x = -3,2/ = 2,2 = -l,t = 3.

4.5    a) 1; b) 3; c) 2; d) 3; e) 4; f) 4.

4.6    a) 3; b) 2: c) 4; d) 2; e) 4; f*) 6.

4.7    a) 3; b) 2; c) 2; d) 1.

4.8    a) dla p — — 3 lub p = 1 lub p = 2 rząd jest równy 2, w pozostałych przypadkach rząd jest równy 3;

b)    rząd jest równy 2 dla każdego p g R;

c)    dla p = 2    rząd jest    równy 2, dla p / 2 rząd jest równy    3;

d)    dla p = 1    rząd jest    równy 1, dla p ^ 1 rząd jest równy    3;

e)    dla p = 1    rząd jest    równy 2, w pozostałych przypadkach rząd    jest równy    3;

f*) dla p =    2 rząd jest równy 1, dla p = -2 rząd jest    równy    3,    w    pozostałych

przypadkach rząd jest równy 4.

4.9    a), d) nieskończenie wiele rozwiązań, 1 parametr; b), c) brak rozwiązań; e) nieskończenie wiele rozwiązań, 2 parametry.

4.10    a) {y}, {«}; b) wszystkie możliwe pary niewiadomych, tzn. {x,y}, {x,z}, {a:,t},

{y,z], {y,t}, {z. t.}; c) {a;,y,z}, {x,y,s}, {x,y,t}, {z.z.s},    {y,z,s},

{y,s,t}.

4.11    Układ nie ma rozwiązań, ma dokładnie jedno rozwiązanie, ma nieskończenie wiele rozwiązań odpowiednio

a)    dla P—\i dla p ^ i p / 3, dla p = 3;

b)    nigdy, dla p ^ 4 i p 0, dla p = 4 lub p — 0;

c)    dla p = —2, dla p ^ — 2 i p ^ 1, dla p = 1;

d)    dla p — 2, dla p # 2, nigdy; e) dla p e R, nigdy, nigdy.

4.12    a) wyrób D waży 44 dag, zaś wagi wyrobu E na podstawie tych danych nie można uzyskać;

b)    detale a,b,c ważą odpowiednio 4, 2 i 3 dag.

4.13    a)    x = — i, y = b) x = 2, y = -1, z = 1; c) x    =    0, y    = 2, z = —3;

d)    x = V = ~y> * = -fi ^e) '^{r = 1}>y = —2,z = 0, i =    2;

f)    x = 10, z/ = 3, z = 0, s = —1, t = 0.

4.14    a)    x = 0, y = 2, z — — —; b) x = 1 ,y = 2, z = 3,t    =    4;

c)    x = — 1 ,y — l,z = — l,s = 2, t = 2; d) x= \ ,y = 0, z = l,s = 0 ,t= 1.

4.15    a) x = 1,2/ = —1 ,z = 1; b) układ jest sprzeczny;

c)    x = — 1 — ł,y = 1, z = 0, gdzie t £ R;

13    14

d)    x = - - -z + s - t, y = - + jz - s, gdzie z,s,t 6 R.

Odpowiedzi i wskazówki

205

7    1

4.16    a) układ jest sprzeczny; b) y = - + s, z = — 4 — 2x — .5, t = -, gdzie x,s € R;

c)    x = -1 + t, y = 4 - t, z — 1 — t, gdzie t£ R;

d)    x = — 5 + 3y 4- z + 2s, t = — 2z, gdzie y,z,s € IR.

4.17    Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub też nie posiada rozwiązań odpowiednio dla:

a)    P € R\ {-5,3}, p = 3, v = -5;

b)    p g R\ {-1, -7}, p = -1, p- -7.

4.18    Czasy potrzebne na narysowanie formy, wycięcie, złożenie modelu i pomalowanie wynoszą odpowiednio 1 minutę, 3 minuty, 2 minuty i 4 minuty.

Rozdział 5 (str. m)

5.1    a) 13; b) 4; c) y/s² + h²; d) o.

\ (S+ b), pa- b, \b- a.

5.2

5.3    a) u = {cos a, sin a, 0); b) u — (cos a, cos /3, cos 7); c) u= -J== (2, 3,-2) lub fi = ^=(-2,-3, 2).

5.4    a) 5; b) -17; c) -1.

-8\/5

5.5 a) arc cos -

25

c) <pi = arc cos

5.6

22,3 , <p3 = arc cos 9

VT3'

2, 37 [rad ] ^ 135,8°; b) ^ [rad];

^=«0,52[rad]»29,8“,_Va = _J

13

0,39 [rad]

3\/35

^; 0,75 [rad] ss 43,0°.

5.7    a) (-4, -6, -17); b) 3i + 5] + 2k: c) p - 7q + 5r.

5.8    a) 5 = n/285; b) 6' = \/61;

^c) S = ^ (l« x «l + I® X + I* x fi| + | (5 _ 0) _x (€& - v) |) •

5.9 h_c =

\/l49i0

35

5.10    a) -55; b) 22.

g    W, U — W, U + v)| = - |(tł, V, w)|.

5.11    a) |V| = 9; b) \V\ = 2; c*) |U| = i |(w —

O

5.12    a) tak; b) nie.

5.13    a) 3y-2z + 6 = 0,, (x y,z) = (1, -2,0) + s(l,0,0) +1(0,2,3), gdzie s,t e R;

b) 193r - 8y z - 0 (x,„ z) = (₀,₀, 0) + _s(l, 2, 3) + i(-l, -3,5), gdzie ś, t 6 R_;

u 17-5 = Ó -⁽m“³’^{4) + s(0}>¹-^{0) +t(1}>³’"⁵)> ^{gdzie s}’^{ż e}

^d| O ^y+ , -3 -0 y ’z) /n O ¹>³) + ^s(¹.¹.0) + t(0,l,l), gdzie s,t € R;

r    I’" t\ + 4 =6 (* tTi ’³V^{0) + S}(°’⁰’ ^X> + ‘(M.O), S^dzie

f)    + y + z + 4 0, (*,y, *) = _(2] i, __{3) + s(1>} j, _{0) + t(0}, i, _ i), gdzie _S, t 6 R