ODPOWIEDZI Macierze i geometria1

202

Rozdział 3. Macierze i wyznaczniki

e)

1    3 5'

2    4 6

1    3 5

2    4 6 1 3 5

3.3 a) A' =

c) X =

;f) [35]

-2 0 -2 0-8 0

; b) Y =

\ ⁰ \

4 4

⁰    4 ⁰

1    o!

4 4 J

3.4

a) Aⁿ = c) 4ⁿ =

1 0 1 0 2 0 I 0 1

1 n 0 1

Y =

1 0 -1 0 0 o -1 0 1

; b)Aⁿ =

cos na sin na — sin na cos na

; d) X =

0 0 1 1

Y =

A dla n nieparzystych I dla n parzystych

cli nx sh nx sh nx ch nx

; d) =

l + (-l)ⁿ    0    1 — (—l)ⁿ

0 2 0 l-(-l)⁷¹    0    l+(-l)ⁿ

aⁿ naⁿ~^l |n(n - l)a”~²

0 a"    na¹

.00    a

g*) Dla n ^ k macierz Aⁿ jest zerowa,

e) Aⁿ = -

2

f*) Aⁿ =

3.5 a) X = d) X =

f)    A =

g) * =

h)    X =

0 1

1 o

1

-2

■.b)X

1 0

0 o

A dla n nieparzystych I dla n parzystych

„n-l

a 2a

0 a

dla n ^ 2;

'	a b
;e) X =	1 + a 6—1
	.3 — a 2 — 6.

o b a + 36 —a — 36

, gdzie o € C; c) X =

, gdzie o, 6 € C; gdzie a,6 € C;

2i — 2 3i + 1 3 — i —i — i

r, i-*]		1 ^1+1		-1 0	-1 -i '		r -i+r
^1 ~ 0 i	lub X =	^1 ~ 0 —i	lub X =		2 i	lub X =	2 0 -i

lub X =

0 0 a 0

\)X =	a 1	ia i	lub X =	a 1	—ia i
	: ^a	a .		. a	a .

1 -1 0 3

lub X =

-1 1

0 -3

, gdzie a € C i 6 G C \ {0} ; , gdzie a € C \ {0};

3.6

3.7

a) Wskazówka. Wykorzystać tożsamości: (AB)C = A(BC), (AB)^T — B^T A^T;

b)    Wskazówka. Wykorzystać tożsamości:

(.4 + B)C = AC + BC, D{A + B) = DA + DB, (a + 0)A = aA + 0A. a) —1; b) sin(a — (3)\ c) 1; d) —2.

Odpowiedzi i wskazówki

203

(-7)-(-I)

2+4

-2 i	3	+(-
-4	1 -i
?| + 5	•(-1)	2+2
-1	2	-3
1	3	-5
2	-2	4

i 1 +i 1-2 i 3

\2+3

i 1 + i -4 1 - i

-f (3-K'M-l)

3+3

-1	-3	4		-1	2	4
1	—5	9	+ 3 •( —1)^2+3	1	3	9
2	4	6		2	-2	6

+

3.9 a) -289; b) 275; c) 123.

3.10* Wskazówka. Wzorować się na rozwiązaniu podanym w Przykładzie* 3.10.

3.11    a) X\ = 3, £2 = 2, X3 — 1; b) xi = 1, X2 = 2, X3 = 3.

3.12    a) 0; b) 1; c) -512.

3.13    a) Wskazówka. Od pierwszego wiersza odjąć drugi, od drugiego trzeci, ..., od przedostatniego ostatni. Wynik 4 ■ 3^n-ł;

b)    Wskazówka. Od pierwszego wiersza odjąć drugi, od drugiego trzeci, ..., od przedostatniego ostatni. Wynik (—l)^n_1n;

c)    Wskazówka. Od kolejnych kolumn począwszy od ostatniej, a na drugiej kończąc odejmować kolumny poprzedzające pomnożone przez n. Rozwinąć otrzymany wyznacznik względem ostatniego wiersza obniżając o 1 jego stopień. Z kolejnych wierszy obniżonego wyznacznika wyłączyć wspólne czynniki. Kontynuować postępowanie aż do otrzymania wyznacznika stopnia 2. Wynik 2! • 3! •... - (n — 1)!.

3.14 a) 50; b) -15; c) -13; d) 44; e) 12; f) -178. 3.15* a) -45; b) -11; c) -1060.

3.16 a)

18

1

" 6

5_

36

J_

12

; b)	cos a sin a	; c)	‘ 7 3 5	2 -1	i ' ^_ 3 1
	— sin a cos a		3		3
			-2	1	1 _

	- 1 2 2 -i		'-1 0 -1 l^n
3.17 a)	9 9 9 2 1 2 9 9 ~9	; b)	— i -- II 2 2 2 —! I-II 2 2 2	;^c)
	2 2 1
	9 9 9 -		2 0 1 -1

3.18 a) X =

-26	17
20	-13
2	-1
-5	3

11    3

-24    -7

b) X =

-1    2

0    0

-4    -4

-7    3

d) *

32

-17    -9

11    19

3.19 a) detyl = 2ⁿ, np. dla A = 2I_n\

b)    det-4 = 0 lub det A = 1 lub det A = —1, np. dla A = O_n, A = I_n lub A = — I_n dla n nieparzystych;

c)    det A = 2" lub det A = -₂", _np. dla A = 2/„ lub A = [ay], gdzie a_(J = 0 dla i j oraz an — —2, au = 2 dla i = 2,3,.. ,,n, przy czym n 6 N jest liczbą parzystą.