ODPOWIEDZI Macierze i geometria

200

Rozdział 3. Macierze i wyznaczniki

gdzie A, B, C, D, E, F,G,H € R;

. A    B    Cx + D

^c)    + --— + ——r—r +

Ex + F

,    „ -T ^-T Te ^r / o    T2 > gdzie A,B,C,D,E,F 6 R;

(t + 3)²    a:² — 4a: + 5    (z² - 4a; + 5)²

2.15* a)

12

+

z — 1 z + 2 z + 3 1 — i _t —1 — i

;b)

(z-1)² (z + 1)²’

1 +i

+

-1 + t

1—i z—l+i z+1 —i z+1+i

; d)

+

c)

z — 1    z — 2    z — 3 z — 4

— 1    x — 1 2z + 2

+

x ■

+

+

^ z z² + 1

(z 4-1 + i)² (z + 1 — i)²'

i

+ ■

z—1 ' z + 1 ' z² + l 1 2

d)

z² + 2z + 2    (z² + 2z + 2)² ’

_;f)l_A ₊ aL_^!___i_

O, -t-2 t3 z + 1    (z+1)²

1 ' z² + l ' (z² + l)

X

—; r j

X X

Rozdział 3 (str. 83)

3.1 a) Położenie figur w grze w szachy zapiszemy w postaci macierzy o 8 wierszach i 8 kolumnach. Rzędy poziome i pionowe na szachownicy ponumerowane będą tak samo jak wiersze i kolumny macierzy. Jeżeli w i-tym wierszu i j-tej kolumnie szchownicy, gdzie 1 < i, j ^ 8,

1)    nie stoi figura ani pionek, to przyjmujemy, że cuj = 0;

2)    stoi biały (czarny) pionek, to przyjmujemy, że a_tJ = 1(—1);

3)    stoi biały (czarny) skoczek, to przyjmujemy, że ay = 2(—2);

4)    stoi biały (czarny) goniec, to przyjmujemy, że ay = 3(—3);

5)    stoi biała (czarna) wieża, to przyjmujemy, że ay = 4(—4);

6)    stoi biały (czarny) hetman, to przyjmujemy, że ay = 5(—5);

2) stoi biały (czarny) król, to przyjmujemy, że ay — 6(—6).

Poniżej podajemy zapis w formie macierzy, położenia figur na szachownicy przed rozpoczęciem gry

-4	-2	-3	-5	-6	-3	-2	-4
-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1
4	2	3	5	6	3	2	4

b) Niech 1, 2,..., 16 oznaczają numery stolic województw ustawionych w porządku alfabetycznym. Niech D oznacza macierz kwadratową stopnia 16 przedstawiającą odległości drogowe i kolejowe między tymi stolicami. Elementy macierzy D określone są wzorem

f    0    dla    i =    j,

dij = <    odległość    drogowa    między miastami    i    oraz j    dla    i < j,

(    odległość    kolejowa    między miastami    i    oraz j    dla    i > j.

Odpowiedzi i wskazówki

201

Fragment takiej macierzy przedstawiono poniżej.

	1	2	3				16
1	0	402	381				629
2	465	0	174				261
3	441	160	0				410
16	628	291	451				0

Legenda:

1    -    Białystok,

2    -    Bydgoszcz,

3    -    Gdańsk,

16    - Zielona Góra.

c) Niech B = |6y] oznacza macierz o 768 wierszach i 1024 kolumnach opisującą kolorowy obraz na ekranie monitora. Jeżeli punkt ekranu stojący w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie

świeci kolorem białym, to przyjmujemy, że 6y — 0, świeci kolorem niebieskim, to przyjmujemy, że bij = 1, świeci kolorem zielonym, to przyjmujemy, że bij — 2, świeci kolorem żółtym, to przyjmujemy, że bij — 3, świeci kolorem czerwonym, to przyjmujemy, że bij - 4,

nie świeci, to przyjmujemy, że bij = 20.

Elementy ty macierzy T przedstawiającej ćwiartkę tęczy opisane są wzorami:

1    dla i oraz    j spełniających    warunek    200    ^    y/i² + j²    < 250;

2    dla i oraz    j spełniających    warunek    250    $5    \Ji² + j²    < 300;

tij

<    3 dla i oraz    j spełniających    warunek    300    ^    \Ji² + j²    < 350;

4 dla i oraz    j spełniających    warunek    350    ^    \JP + j²    ^ 400;

0 dla pozostałych i oraz j,

gdzie    768 oraz 1 j ^ 1024.

'0	1	0	1	1'		'0	1	1	r
1	0	1	0	1	-2)	1	0	1	i
0	1	0	1	1		1	1	0	i
i	0	1	0	1		_ 1	1	1	0.
1	1	1	1	0

'0 1 0 1 1 0 0 0 0' .1 0 1 0 0 1 0 0 0 010100100 101000010 100001011 010010100 001001010 000110101 .0 0 0 0 1 0 0 1 0,

Element ay w podanych powyżej macierzach jest równy 1, gdy węzły o numerach i oraz j są połączono prętem oraz 0, gdy nie są połączone.

3.2

			'0 3'
^a)	'-1 9' 7 0	;b)	1 9 5 4.

6    14 -2

10 -19 17

; d)

cos(a + 0) — sin(a -f 0) sin(a -t- 0) cos(a + 0)    ’

H