ODPOWIEDZI Macierze i geometria3

206

Rozdział 5. Geometria analityczna w przestrzeni

5.14 a) l :

b)    l :

c)    l :

d)    l :

e)    l : P) l

x = -3 + 2t,

y = 5 -t,    gdzi ei£R,; : —-    = —■

z = 2 + 3t, x = 1 - 3ć,

y = 2t, gdziet 6 R, l : z = 6 — 2t,

—2 — t, gdziet 6R,i:? = ^ =

2-13 x — 1 _ y _ z — 6

-3

2

_2

V

z = 3 -ł~ 2t,

' x = 7 + 6i,

y = 2 + 3t, gdziet 6 R, l : ,z = At, x = —2 + 2t,

y = 4 — 3t,    gdzie t£l. / :

z = 4t, r x = 1 + 7t,

j y = — 1 — 2t, gdziet 6 R, l 1, z — 2 -f- 31t,

3-1    2

x — 7 y — 2 6    “    3    “

x + 2_y — 4_

z

4^;

z

⁼ 4’

2    -3

x — 1 _ i/'+ 1 z — 2

-2

31

5.15    a) punkt A należy, a punkt B nie należy do prostej l;

b)    prosta m jest zawarta w płaszczyźnie 7r;

c)    punkt A należy, a punkt B nie należy do płaszczyzny 7r;

d)    proste h i lo mają punkt wspólny (1,2,4);

e)    prosta l jest równoległa do płaszczyzny n.

5.16    a) (-1,0,3); b) (1,1,3); c) (0,2,-3).

5.17    a) -^=; b) 1; c) 2; d) ^/|; e) -/U; f) 1; g) y; h) ^\/21.

5.18    a) a = arccos ^L_ rs 1, 37 [rad] w 78, 7°;

b)    ca — arccos —^== R* 1,24 [rad] « 70,9°;

2y21

c)    q = arc cos -7=== ~ 0,63 [ rad ] r; 36,3°.

\/154

5.19		(~ - - \3^! 3 3	); c) / :	x — 1 y — 1 z + 1 1 1 " 2 '
5.20	a) (0, —5,5); b) (-	10 5 3 ’ 3’	c) (6,1,1).
5.21	a) (-4,-6, 2); b) l	x + 2 4	y + 4 5	2 4- 1 1
5.22	a) |V| = |, [S| = 9;	b) \V\ =	= 60, |S|	= 2 (l5\/2 + 20\/5 + vM154)
5.23	S=V61.
5.24	h=^y/H* 221	km.
5.25	Po = (-4,-12,9).
5.26	/14 = 150 m.
5.27	cos 1ę = -7=, ip Ri 26 v 5	1,6°.

Odpowiedzi i wskazówki

207

5.28    S = IOn/319 m².

5.29    d-min — (/l₂ - hy) cos q = 2000 cos 10° « 1970 m.

5.30 Wskazówka. Wykazać, że suma momentów sił ciężkości tycłi punktów materialnych, względem osi obrotu, jest równa O.

5.31 a) (xo,yo,zo) = (o, y, yj; ^b) 4000; c) 3200;

2G (9V2    2V3    -7V2    2^3    ~ 2v/3

^d) 25 V 4 ⁺ 9 ^{+ ?}’~4---«T ~^5,_n/2~ 1T

gdzie G jest stałą, grawitacji.

Rozdział 6 (str. 192)

6.1    a) (x - l)² + (y - 5)² = 5; b) S =    , r = c) x + 2y = 0;

d)    są dwa okręgi spełniające warunki zadania:

(,r + 5)² -h(y- 5)² = 25, (x + 17)² + (y - 17)² = 289;

e)    okrąg x² + (y - l)² = I.

6.2    a) 3x — 4y = 0; b) \PS\ - 12, gdzie S jest punktem styczności;

c) najbliżej prostej leży punkt P ■

•2+

2 ’ 2

d) (* - 6)² + (y - 7)² = 36; e) x² +y² = 25.

, a najdalej Q •

_9 _

s/2 i/Ś

₆.3    ,) iyiii _{+    = 1;}

b)    a = 10, 6 = 5, Fi = (-5x/3,0), F₂ = (W5.0), £ = y^;

c)    a = s/l, b = y/3, c = \/2; d) A = (-a,0),

R =

_ [a (a² - 35²)    2v'3a³    j ,,    ( a (a² - 3b²)    2x/3a³

a'² + 36² ’ 3 (a² + 36²) j ’ ' ^_ [ a² + 35² ’ 3 (o² + 35²)

lub

A = (a,0),B

> C =

a (35² —«²)    2\/3a³

a² + 36² ’ 3 (a² + 3b²)

a (36²—a²)    ₂^a³

a² + 36² ’    3 (a² + 36²)

e) 4x-9y + 13 = 0.

6.4 a) x - 2y + 4 = 0; b) y = —Ą={x + 3), y = ~(x + 3);

v o    V5

x- y

c) V = X - 2\/2, ;y = x + 2\/2; d) — +

⁶'^{5 a}) T-T ^{= 1}'^b)^Fi = (-²:⁰)’^F2 = ('²>⁰).^£ = ²;

c) a = \/5, 6 = y/2, S = (1, -1); d) d = y

O

6.6

a) 3x* 2y — \/6; b) y = —-=(x — 1), ?/ =    (x — 1); c) y = — a: — 2, y = —x -f 2;

_    v3    v3

d) a = 2v2, 6 = 2.