4558

142

d)/ :

•)l:

f*> I :

Geometria analityczna w przestrzeni

T<f8t,

4'

a

V

a -2 31

2 + 31, gdsie I € fi. I : ^-r-¹ *    -

44,    ^6    3

-2 + 2t,    .

4 — 3*. gdzie i € R, i : —7?— — — r -41,    ²    “³

-1-21. gdzie !€«./:    *=

2 + 314,    ⁷

12.6 a) punki /4 należy, u punkt U nie nalciy do prostej /; b) prosta m Jest itwuti w płaszczyźnie «; c) punkt A należy, a punkt li nie należy do pluiciyiny *; d) proste f, i fj mają punkt wspólny (1,2,4); e) prosta / jest równoległa do płaszczyzny *.

12.7 a) (-1,0.3); b) (1,1.3); c) (0.2.-3).

12.8 Punkty te leżą n) po przeciwnych stronach; b) po tej samej stronie płaszczyzny a.

Trzynasty tydzień

| Wzajemno położeniu punktów, prostych i płnsy.cy.yy.n (5.8).

Przykłady

• Przykład 13.1 Obliczyć odległość

a)    punktu P = (1,0, —5) od płaszczyzny * : 3x — 12y + 4r + 8 = 0;

b)    płaszczyzn równoległych xi . 2r — y + 3z = 0, zj; —4x + 2y — 6z + 8 = 0;

c)    punktu P = (0,0,0) od prostej I : —-

.    ,    , . . .    x—1 y — 2 x + 3    . x    y z

d)    prostych równoległych l> t    —-—    = —^    = ——,    /₂ : 5 ⁼    4    ⁼ <5'

«) prostych skośnych /, : | * =    '»•{* = " ⁼ h

f) prostej / : -^y =    = y od płaszczyzny x: x + y — * + 7 = 0.

Rozwiązanie

a) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na odległość d punktu P = (xo.yo.ro) od płaszczyzny w : Az + By + Ca + D = O;

_# _ |Axo + gyo + Cap + Ol

Odległość d punktu P w (1,0, -5) od płaszczyzny * : 3r - 12y + 4* + 8»0 jest równa

,    |3 -1 -■12 ■ 0 + 4 • (-5) + 8|    0    _ 9

_v/3⁵ + (—12)* + 4*    * \/l69 " 13’

Trzynasty tydzień - przykłady

143

b) W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na odległość i płaszczyzn równoległych r_t : Ai + fi» + Cx + Di » 0, *a :-/te + iły + Ci + Da = 0;

cf

>M» + B* + C*

Przekształcamy równanie płaszczyzny *j lak, aby miała te ume współczynniki co płasz-esysna »|. Mamy »j : 2* - y + 3* — -1 = 0. Odległość d płaszczyzn »i i xt jest żalem

równa

-* ——1° ~ (~*)1

>/2^ł +(-!)»+3>

4

Vl4‘

c) Odległość d punktu P od prostej I wyznaczymy w następujący sposób: pucz punkt P prowadzimy płaszczyznę K prostopadłą do prostej /, następnie wyznaczamy punkt P przecięcia prostej I z płaszczyzną x (będzie to rzut punktu P na prostą I) i wyznaczymy odległość punktów P i P - Ponieważ płaszczyzna t ma wektor normalny ii taki sam jak wektor kierunkowy 5 prostej I, więc a = 3 ■> (2,-1,—2).

Równanie płaszczyzny x przechodzącej przez punkt P ■ (6,0,0) ma zatem po-stać * : 2(*~0)- l{jf-0)-2(z-0j = Q-stąd otrzymamy x : 2t — y — 2z =» 0.

Znajdziemy teraz punkt P przecięcia prostej I i płaszczyzny x. Współrzędne tego punktu spełniaj* układ równań

{■ 2x-f-2* = 0,

I x-l yłl _ z — 3 | 2 “ -1 —2

Po rozwiązaniu tego układu otrzymamy r*|,    Obliczam}¹ teraz odle

głość i punktu P - (|, -|, od punktu P - (0,0/0), czyli szukaną odległość punktu P od prostej l, mamy

t/56;

d) I sposób. Odległość d między prostymi równoległymi fi i fj wyznaczymy w następujący sposób: na prostej fi wybieramy dowolny punkt A, a aa prostej fj dwa dowolne punkty B, C; obliczamy połę 5 trójkąta ABC (wykorzystując iloczyn wektorowy); obliczamy wysokość tego trójkąta opuszczoną s wierzchołka A.