4549

m Geometria analityczna w przestrzeni

•) Posiewu pole trdjkęu tospiętego na wektorach a, 6 jest równo połowie pola równo, leglobofcu roipięicgo na tych wektorach, więc

Sm jfł X Sl -    X (Óiit. -2)1

U ?jl-i|-I + jJ₊3j|-ł2l.

0 l-j|    .

b) Rówaolcglobok ADCD o wierzchołkach w punktach A = (1,0,1), B = (3, —1,5), C = (“1,5.0) jest rozpięty na wektorach

AB=> (2,-1,4), AC~(-2,5,-1), zatem jego pole wyraża się wiórem

I*» t T i j k

-2-1 4 \]\

-2 5-1

= | -19* -1]+8t| =    + (-6)* + S⁵ => v'561 es 21,47.

c) Powierzchnia równoleglokianu rozpiętego na wektorach p, </, r składa się z dwóch równolegloboków rozpiętych na wektorach fi, </> z dwóch równolcgioboków rozpiętych aa wektorach p, r oraz dwóch równolegloboków rozpiętych na wektorach ?/, ?. Pale tej powierzchni będzie zatem równe

S-=2(|jJx3| + |j}x?| + |5x?|).

• Przykład 11.9

Obliczyć odległość punktu P = (3,2,5) od prostej I wyznaczonej przez wektor 3 = (1,1,1) zaczepiony w początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie

Odlcgłołć d punktn P od prostej f (rysunek) wyznaczymy z trójkąta OPP', gdzie P' jest nilem prostopadłym ponktu P na prostą ł. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że d = /{OP)^J -(OP¹)¹. W naszym przypadku mamy OP ■ v'3^ł + 2^J + 5^a = >/38.

Wyznaczymy teraz dlugoóć wektora OP , który jest rzutem wektora OP na wektor 5. Długów tego rzutu wyraża się wiórem (zobacz Przylcłnd 11.0)

IcPoal    |(3,2,5) o (1,1, l)|    10

|«f Vl⁷ + l^I+l³ y/3-

_a Zatem

i = y/iOP)' - (ÓF? = Ju-    = y||

Drugi sposób rozwiązania tego zadania po-dany będzie w Przykładzie 13.1 c).

Zadania

0 Zadanie 11.1

Obliczyć długości podanych wektorów:

a) 2 = (3. -4,12); b) b = (y/5, -V5.2>/5);

c)    c = (ocos p. psin p. h), gdzie o $ 0 oraz p, h € fl;

d)    3 = (pcos pcos v>. psin pcos psin v), gdzie 0 oraz p,t> 6 fl.

O Zadanie 11.2

Wektory 3, 6 tworzą dwa sąsiednie boki trójkąta. Wyrazić środkowe lego trójkąta przez wektory o, 6.

0 Zadanie 11.3 Znaleźć wersor 3, który:

a)    leży w płaszczyźnie zOy i tworzy kąt o z dodatnią częścią osi Oc;

b)    tworzy z dodatnimi częściami osi Oz, Oy, Ox odpowiednio kąty a, 0, y

c)    tworzy jednakowe kąty z wektorami a = (0,3, -4), b = (8,6,0) i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory.

O Zadanie 11.4

Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a)    5 = (1,—2,5), b = (3,—1,0);

b)    a =3i - 2%, V = -t + Zj + 7&,

c*) 3 = p + 27/ - r, y = 3? — •} + 25*, gdzie jJ, q, ? aą wersorami parami prostopadłyn O Zadanie 11.5

Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć miary podanych kątów:

a)    między wektorami o = (-3,0,4), b = (0,1, -2);

b)    między dwusiecznymi kątów utworzonych przez osie Oz, Oy oraz osie Oy, Oz układu Oxyz;

c)    między przekątnymi równoległościanu rozpiętego na wektorach 8 = (1,2.3). v = (-1,0,2), w = (3,1,5).

0 Zadanie 11.6

Obliczyć długość rzutu prostokątnego wektora 3 = (>/5, V$,-Vo) na wektor

5 = (-^,0,y/5).

O Zadanie 11.7

Obliczyć iloczyny wektorowe podanych par wektorów: a) 3 = (-3,2,0), K = (1,5,—2); b) 3 = 27-34, u = 7+7-4*. c*) 2 = 2p + 9 + r. y = p + 3ą + 4r, gdzie p, ą, i* są parami prostopadłymi wersorami o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych.