4565

156 Geometria analityczno W przestrzeni

n) punktu O = (0,0,0) na płaszczyznę r : x - 2* + 8 = 0;

b) prostej /. r— 1 = y+ 1 = z - 2 na płaszczyznę » : x-y+z- 1 = 0.

O Zadanie 13.6

Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych podanymi płaszczyznami:

a) x = l,y = -l,.* = 3,x + y+r =5;

b) x-y = l, x-y = 5,x + 2z =0, x + 2z =3, z = -1, z = 4.

O Zadanie 13.7

Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez proste:

O Zadanie* 13.8

Niech A = (1,-1.3), B = (0.2,5). Na prostej /: —y— =    = -y znaleźć

punkt C taki, że pole trójkąta ABC będzie najmniejsze.

O Zadanie* 13.9

Dane są równania dwóch płaszczyli

xi : 3x - 4y - I2z = 0, *a : 4x + 12y + 3z - 13 = 0.

Znaleźć równania płaszczyzn, które są dwusiecznymi kątów dwuściennych utworzonych przez płaszczyzny xj i xj.

Odpowiedzi i wskazówki

13.1 a) -i=; b) 1; c) 2: d) e) y/l4: f) 1; g) y; h) f

13.7 S = V5T.

13.8* Wskazówka. Punkt C iest pankiem, w którym realizuje się najmniejsza odległość

13.9* z + I6jr + ISz - 13 = 0, 7x + 8jr - 9z - 13 o 0.

Czternasty tydzień - przykłady    157

Czternasty tydzień

Waajcnmw położenia punktów, prostych i płaszczyzn (5.8). Zastoso. wnnic rachunku wektorowego w mechanice (5.5).__

Przykłady

• Przykład 14.1

Punkty A i (0,0,0), D = (4,0,0), C = (0,6,0), D = (0,0,8) są wierzchołkami czworościanu. Wyznaczyć środek i promień kuli opisanej na tym czworościanie.

Rozwiązanie

Niech S = (r.y.z) będzie środkiem, a R promieniem kuli opisanej na czworościanie ABCD. Wtedy

|'&i| = lig! = |SC| = \SD\ = it.

Zapisując te równości w formie układu równań otrzymamy

y/(z - 0)* + (y - oy + (* - 0)^a = y/(x - 4)* + (y - 0)’ + (* - 0)^a,

v/(x - 4)* + (p- o)^a + (* - o)³ = v/(x - o)’ + (y - 6)* + (73 oy, y/(z - oy + (y ~6)* + (i - O)² = v/(z - 0)> + (y- 0)’ + (7-8)’.

Stąd

i 8    =2.

i -2* + 3y    =5.

I - 3* + 4z | 7.

Rozwiązaniem tego układu równań jest trójka

z-2,

y-3,

*■4.

Zatem S = (2,3,4). Obliczymy teraz promień kuli opisanej na czworościanie ABCD.

Mamy    _,

R = |S,t| - y/{2 - 0)* + (3 - 0)» + (4 - 0)> = V55.

• Przykład 14.2

W chwili f₀ = o z punktu 5 = (4,-3,1) (km) wystrzelono prostoliniowo rakietę ² prędkością o = 3 km/s, nadając jej kierunek wektora u = (1,1,5). Wyznaczyć położenie rakiety w chwili t j = 16 s.

Rozwiązanie

Rakieta porusza się po linii prostej o równaniu parametrycznym (zapisanym w formie wektorowej) ? ■ f₀ + r - f. gdzie r jest promieniem wodzącym punktów aa prostej,

-^(1.1.5) wektorem

*0 — (4, —3,1) jest promieniem wodzącym punktu S, v =* v- =