DSC07355

128

Geometria analityczna w przestrzeni

Równanie kierunkowe prostej l mu postać

i. ł-1    y-0 _ z-2

‘    0    5 ;    -3 '

b) Ponieważ szukana prosta ł przechodzi przez punkty Pi = (—1,1,0), Pi = (0,3,-2)

więc jest równoległa do wektora P\ ft= (1,2, —2). Równanie parametryczne (wektorowe) tej prostej ma zatem postać

l: (i, y,z) = (-1,1,0) + t(l, 2, -2), gdzie i6 R,

stąd po rozpisaniu na współrzędne otrzymamy

| *==-l+t,

(: < y = l+2t, gdzie teR. l_vz = -2t,

Równanie kierunkowe prostej l ma postać

x+l y— 1 ... |

,1 2 -2‘

c) Ponieważ prosta ( rozważana w zadaniu jest prostopadła do płaszczyzny rr : x — 3; + 7 = 0, więc jest równoległa do wektora normalnego tej płaszczyzny, tj. do wektora 3 = (1,0,-3). Równanie parametryczne (wektorowe) prostej przechodzącej przez punkt P = (1. -5,3) i równoległej do wektora fi = (1,0,—3) ma zatem postać

1: (x.y,i) = (1,—5,3) + £(1,0,—3), gdzie t 6 R,

stąd po rozpisaniu na współrzędne otrzymamy

f fipf*,

I: < y = —5, gdzie te R.

[ z = 3-31,

Równanie kierunkowe prostej l ma postać

i. ^ł~ i _ y + 5 _ z — 3 ■^? 1 S 0    -r3 ‘

d) Ponieważ szukana prosta l jest prostopadła do wektorów 5 = (0,1, —5), 6 = (—2,3,0), więc jest równoległa do wektora 6=3x6. Obliczamy teraz wektor 3. Mamy

« = (0,l,-5)x (-2,3,0) =

Tf 7

* j o i -2 3

k

-5

0

15t + 10j + 2£.

Prostsi przechodzi przez punkt P = (0,0, -2) i jest równoległa do wektora 3 = (15,10,2), więc jej równanie parametryczne (wektorowe) ma postać

i: (z,y,z) = (0,0,—2) + t(15,10,2), gdzie t € R.

Stąd po rozpisaniu na współrzędne otrzymamy

| 11181,

1: < p = 101, gdzie t S R.

I * = —2 + 2t,

przykłady

129

Równanie kierunkowe prostej l ma postać

,. *_ _ V_

■ 15    10

e) Wektory kierunkowe Ci, Ca odpowiednio prostych łj., h mają postać Ci = (-1,2,3), 5] = (1, —3,2), Ponieważ szukana prosta l ma być dwusieczną kąta utworzonego przez proste h, tu, więc jej wektor kierunkowy C powinien być dwusieczną kąta utworzonego przez wektory Ci i Cj lub przez wektory Ci i — Ca. Wiadomo (patrz Przykład 5.13. g*), że sektor S leżący w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory niezerowe u, w oraz tworzący z tymi wektorami jednakowe kąty ma postać

_ u ib

TbT T®T‘

Zatem wektor kierunkowy u dwusiecznej l ma postać

fejiiŁ    + .    == 4=(0,-l,5),

a wektor kierunkowy C drugiej dwusiecznej l ma postać

c' = -₇<-^ł-²-³)    -    O."*?)    _:= 1 (-2,5,1)

v/(—l)^a -t-2³ + 3²    _v/l»+(-3)^I + »_i 'M

Znajdziemy teraz punkt P = (z, y, z) przecięcia prostych /i i lj. Współrzędne tego punktu spełniają układ równań

- |tó -t = -2 -5,

Z y = 2t = 4 — 3s, l z:= 3t= 6-25.

Rozwiązując ten układ otrzymamy z = —2, y = 4, z = 6, a = 0, / = 2. Zatem P = (-2,4,6). Możemy więc napisać równania szukanych dwusiecznych. Przyjmując dla uproszczenia obliczeń, że wektory kierunkowe tych dwusiecznych mają postać C = (0, -1,5) oraz u = (-2,5,1) otrzymamy

X = -2,    r z = -2 - 2t,

l:

y = 4 — i, gdzie t 6 R oraz / : < y — 4 + 5t, gdzie t £ R.

t = 8 + 5ł,    ^; ■ I li | =:6 +1,

Kierunkowe równania prostych l i l mają postać

i •    - _ V ~ d _ z — 6 _ornz g . z + 2 _ y — 4 _ - - 6

0

-1

-2

1

f) Niech 31 oraz 3j oznaczają odpowiednio wektory normalne płaszczyzn rr, : z+2;—I = 0 oraz irj : x — y + 0 = 0. Wtedy ni = (1,0,2) oraz nj = (1, —1,0). Wektor kierunkowy C szukanej prostej l jest prostopadły do wektorów rli i tła, a zatem będzie miał postać 0 = c(rli x 3z), gdzie c jć 0. Przyjmując c= 1 otrzymamy

C=rli x nz = (1,0,2) x(l,-1,0) =

1    i    T

«    J    *

■li    0    ,2

ii    -i    o

2i + 2j-*.